Seja E=a cos (x)+b sin (x) ; a, b in R e considere o produto interno lang<= f, grang<== integral0^2 pi f(x) g(x) d x. Calcule uma base ortonormal para E.

Passo 1

Então, temos o espaço E = a cos(x) + b sin(x) ; a, b in R, que é basicamente todas as combinações lineares das funções cos(x) e sin(x). O que queremos encontrar é uma base ortonormal para esse espaço usando o produto interno definido por lang<= f, g rang<= = integral0^2pi f(x) g(x) dx. Para isso, vamos usar o processo de ortonormalização de Gram-Schmidt.

Passo 2

Primeiro, escolhemos as funções cos(x) e sin(x) como nossa base inicial. Precisamos verificar se elas já são ortogonais e normalizadas.

Passo 3

Calculamos o produto interno entre cos(x) e sin(x):
lang<= cos(x), sin(x) rang<= = integral0^2pi cos(x) sin(x) dx = 0
Isso mostra que cos(x) e sin(x) são ortogonais.

Passo 4

Agora, verificamos se cada função está normalizada, ou seja, se o produto interno de cada função consigo mesma é 1.
Para cos(x):
lang<= cos(x), cos(x) rang<= = integral0^2pi cos^2(x) dx = pi
Para sin(x):
lang<= sin(x), sin(x) rang<= = integral0^2pi sin^2(x) dx = pi
Ambas as integrais resultam em pi, então as funções não estão normalizadas.

Passo 5

Para normalizar, dividimos cada função pela raiz do seu produto interno consigo mesma. Ou seja, dividimos por raizpi.
Então, as funções normalizadas ficam:
u1(x) = cos(x)raizpi
u2(x) = sin(x)raizpi

Passo 6

Agora, temos duas funções que são ortogonais ( lang<= u1, u2 rang<= = 0) e normalizadas ( lang<= u1, u1 rang<= = lang<= u2, u2 rang<= = 1). Portanto, elas formam uma base ortonormal para o espaço E.

Resposta

Uma base ortonormal para E é , dfraccos(x)raizpi,; dfracsin(x)raizpi,.

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