Seja
e considere o produto interno
. Calcule uma base ortonormal para
.
Passo 1
Então, temos o espaço
, que é basicamente todas as combinações lineares das funções
e
. O que queremos encontrar é uma base ortonormal para esse espaço usando o produto interno definido por
. Para isso, vamos usar o processo de ortonormalização de Gram-Schmidt.
Passo 2
Primeiro, escolhemos as funções
e
como nossa base inicial. Precisamos verificar se elas já são ortogonais e normalizadas.
Passo 3
Calculamos o produto interno entre
e
:
Isso mostra que
e
são ortogonais.
Passo 4
Agora, verificamos se cada função está normalizada, ou seja, se o produto interno de cada função consigo mesma é 1.
Para
:
Para
:
Ambas as integrais resultam em
, então as funções não estão normalizadas.
Passo 5
Para normalizar, dividimos cada função pela raiz do seu produto interno consigo mesma. Ou seja, dividimos por
.
Então, as funções normalizadas ficam:
Passo 6
Agora, temos duas funções que são ortogonais (
) e normalizadas (
). Portanto, elas formam uma base ortonormal para o espaço
.
Resposta
Uma base ortonormal para
é
.
Exercícios relacionados
Considere o espaço vetorial
.
(a) Mostre que é uma base de
.
(a) Mostre que
Deduza o termo geral e escreva usando a notação de série:
Deduza o termo geral e escreva usando a notação de série:
Seja
uma base de
. Encontre as coordenadas dos vetor
na base
.