Seja e considere o produto interno . Calcule uma base ortonormal para .

Passo 1

Então, temos o espaço , que é basicamente todas as combinações lineares das funções e . O que queremos encontrar é uma base ortonormal para esse espaço usando o produto interno definido por . Para isso, vamos usar o processo de ortonormalização de Gram-Schmidt.

Passo 2

Primeiro, escolhemos as funções e como nossa base inicial. Precisamos verificar se elas já são ortogonais e normalizadas.

Passo 3

Calculamos o produto interno entre e :
Isso mostra que e são ortogonais.

Passo 4

Agora, verificamos se cada função está normalizada, ou seja, se o produto interno de cada função consigo mesma é 1.
Para :
Para :
Ambas as integrais resultam em , então as funções não estão normalizadas.

Passo 5

Para normalizar, dividimos cada função pela raiz do seu produto interno consigo mesma. Ou seja, dividimos por .
Então, as funções normalizadas ficam:

Passo 6

Agora, temos duas funções que são ortogonais ( ) e normalizadas ( ). Portanto, elas formam uma base ortonormal para o espaço .

Resposta

Uma base ortonormal para é .

Exercícios relacionados

Considere o espaço vetorial .
(a) Mostre que é uma base de .
Deduza o termo geral e escreva usando a notação de série:
Deduza o termo geral e escreva usando a notação de série:
Seja uma base de . Encontre as coordenadas dos vetor na base .