Considere o espaço vetorial P3(t) dos polinômios de grau no máximo 3. Seja B=(t-1)^3,(t-1)^2, t-1,1 uma base de P3(t). Encontre o vetor coordenada [v] do polinômio v=3 t^3-4 t^2+2 t-5 em relação à base S.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A gente tem um espaço vetorial P3(t), que são todos os polinômios de grau no máximo 3. A base que estamos usando é B = (t-1)^3,, (t-1)^2,, t-1,, 1. Nosso objetivo aqui é encontrar o vetor coordenada [v] para o polinômio v = 3 t^3 - 4 t^2 + 2 t -5 em relação a essa base. Para isso, vamos precisar saber como expressar um polinômio como combinação linear dos vetores da base.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar o vetor coordenada [v]. Basicamente, queremos encontrar os coeficientes a, b, c e d tais que:
v = a, (t-1)^3 + b, (t-1)^2 + c, (t-1) + d, (1)
Nosso objetivo é descobrir os valores de a, b, c e d.

Passo 3

Para facilitar, vamos expandir cada um dos termos da base:
  1. (t - 1)^3 = t^3 - 3 t^2 + 3 t -1
  2. (t - 1)^2 = t^2 - 2 t +1
  3. (t - 1) = t -1
  4. 1 = 1

Passo 4

Agora, substituímos essas expansões na equação original:
3 t^3 - 4 t^2 + 2 t -5 = a, (t^3 - 3 t^2 + 3 t -1) + b, (t^2 - 2 t +1) + c, (t -1) + d, (1)
Vamos distribuir os coeficientes a, b, c e d:
3 t^3 - 4 t^2 + 2 t -5 = a t^3 - 3 a t^2 + 3 a t - a + b t^2 - 2 b t + b + c t - c + d

Passo 5

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
3 t^3 - 4 t^2 + 2 t -5 = (a) t^3 + (-3 a + b) t^2 + (3 a - 2 b + c) t + (-a + b - c + d)

Passo 6

Para que os polinômios sejam iguais, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
a = 3 -3 a + b = -4 3 a - 2 b + c = 2 - a + b - c + d = -5

Passo 7

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Começamos pela primeira equação:
a = 3
Agora, substituímos a = 3 na segunda equação:
-3(3) + b = -4 -9 + b = -4 b = -4 + 9 b = 5

Passo 8

Com a = 3 e b = 5, substituímos na terceira equação:
3(3) - 2(5) + c = 2 9 -10 + c = 2 -1 + c = 2 c = 2 + 1 c = 3

Passo 9

Finalmente, com a = 3, b = 5 e c = 3, substituímos na quarta equação:
-3 + 5 -3 + d = -5 -1 + d = -5 d = -5 +1 d = -4

Resposta

O vetor coordenada de v = 3 t^3 -4 t^2 +2 t -5 em relação à base B é:
[v] = 3 5 3 -4

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