Considere o espaço vetorial dos polinômios de grau no máximo 3. Seja uma base de . Encontre o vetor coordenada [v] do polinômio em relação à base .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A gente tem um espaço vetorial , que são todos os polinômios de grau no máximo 3. A base que estamos usando é . Nosso objetivo aqui é encontrar o vetor coordenada para o polinômio em relação a essa base. Para isso, vamos precisar saber como expressar um polinômio como combinação linear dos vetores da base.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar o vetor coordenada . Basicamente, queremos encontrar os coeficientes , , e tais que:
Nosso objetivo é descobrir os valores de , , e .

Passo 3

Para facilitar, vamos expandir cada um dos termos da base:

Passo 4

Agora, substituímos essas expansões na equação original:
Vamos distribuir os coeficientes , , e :

Passo 5

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:

Passo 6

Para que os polinômios sejam iguais, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 7

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Começamos pela primeira equação:
Agora, substituímos na segunda equação:

Passo 8

Com e , substituímos na terceira equação:

Passo 9

Finalmente, com , e , substituímos na quarta equação:

Resposta

O vetor coordenada de em relação à base é:

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Considere os subespaços de definidos por
Encontre uma base e a dimensão dos seguintes subespaços:
(a) ,
(b) .
Seja um grupo e . Prove que: .
Escreva as equações paramétricas do plano nos casos a seguir.
a) passa pelos pontos e e é paralelo ao vetor .
Mostre que munido da operação tal que é um grupo comutativo.