Considere o espaço vetorial dos polinômios de grau no máximo 3. Seja uma base de . Encontre o vetor coordenada [v] do polinômio em relação à base .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A gente tem um espaço vetorial , que são todos os polinômios de grau no máximo 3. A base que estamos usando é . Nosso objetivo aqui é encontrar o vetor coordenada para o polinômio em relação a essa base. Para isso, vamos precisar saber como expressar um polinômio como combinação linear dos vetores da base.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar o vetor coordenada . Basicamente, queremos encontrar os coeficientes , , e tais que:
Nosso objetivo é descobrir os valores de , , e .
Passo 3
Para facilitar, vamos expandir cada um dos termos da base:
Passo 4
Agora, substituímos essas expansões na equação original:
Vamos distribuir os coeficientes , , e :
Passo 5
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 6
Para que os polinômios sejam iguais, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 7
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Começamos pela primeira equação:
a = 3
Agora, substituímos a = 3 na segunda equação:
-3(3) + b = -4 -9 + b = -4 b = -4 + 9 b = 5
Passo 8
Com a = 3 e b = 5, substituímos na terceira equação:
3(3) - 2(5) + c = 2 9 -10 + c = 2 -1 + c = 2 c = 2 + 1 c = 3
Passo 9
Finalmente, com a = 3, b = 5 e c = 3, substituímos na quarta equação:
-3 + 5 -3 + d = -5 -1 + d = -5 d = -5 +1 d = -4
Resposta
O vetor coordenada de v = 3 t^3 -4 t^2 +2 t -5 em relação à base B é: