Mostre que munido da operação tal que é um grupo comutativo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que os números reais , com a operação definida por , formam um grupo comutativo. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra, mais especificamente Teoria dos Grupos. Para resolver isso, vamos verificar se a operação satisfaz as propriedades necessárias para ser um grupo: fechamento, associatividade, elemento identidade, elementos inversos e comutatividade.

Passo 2

1. Fechamento: Primeiro, precisamos ver se ao aplicar a operação em dois números reais, o resultado também é um número real.
Como e são reais, e é uma combinação linear de reais, o resultado também é real. Portanto, é fechado sob .

Passo 3

2. Associatividade: Agora, vamos verificar se a operação é associativa. Isso significa que para todos :
Vamos calcular os dois lados:
  • Lado esquerdo:
  • Lado direito:
Como os dois lados são iguais, a operação é associativa.

Passo 4

3. Elemento Identidade: Precisamos encontrar um elemento tal que para todo :
Vamos resolver para :
Portanto, o elemento identidade é .

Passo 5

4. Elementos Inversos: Para cada , deve existir um elemento tal que:
Vamos encontrar :
Portanto, o inverso de é .

Passo 6

5. Comutatividade: Finalmente, vamos verificar se a operação é comutativa, ou seja, para todo :
Calculando ambos:
Como , a operação é comutativa.

Resposta

Assim, munido da operação definida por satisfaz todas as propriedades de um grupo comutativo.

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