Mostre que
munido da operação
tal que
é um grupo comutativo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que os números reais
, com a operação
definida por
, formam um grupo comutativo. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra, mais especificamente Teoria dos Grupos. Para resolver isso, vamos verificar se a operação
satisfaz as propriedades necessárias para ser um grupo: fechamento, associatividade, elemento identidade, elementos inversos e comutatividade.
Passo 2
1. Fechamento: Primeiro, precisamos ver se ao aplicar a operação
em dois números reais, o resultado também é um número real.
Como
e
são reais, e
é uma combinação linear de reais, o resultado também é real. Portanto,
é fechado sob
.
Passo 3
2. Associatividade: Agora, vamos verificar se a operação é associativa. Isso significa que para todos
:
Vamos calcular os dois lados:
- Lado esquerdo:
- Lado direito:
Como os dois lados são iguais, a operação
é associativa.
Passo 4
3. Elemento Identidade: Precisamos encontrar um elemento
tal que para todo
:
Vamos resolver para
:
Portanto, o elemento identidade é
.
Passo 5
4. Elementos Inversos: Para cada
, deve existir um elemento
tal que:
Vamos encontrar
:
Portanto, o inverso de
é
.
Passo 6
5. Comutatividade: Finalmente, vamos verificar se a operação
é comutativa, ou seja, para todo
:
Calculando ambos:
Como
, a operação é comutativa.
Resposta
Assim,
munido da operação
definida por
satisfaz todas as propriedades de um grupo comutativo.
Exercícios relacionados
Escreva as equações paramétricas do plano
nos casos a seguir.
a) passa pelos pontos
e
e é paralelo ao vetor
.
a)
Considere o espaço vetorial
dos polinômios de grau no máximo 3. Seja
uma base de
. Encontre o vetor coordenada [v] do polinômio
em relação à base
.
Demonstre que se
é um grupo abeliano, então, para todos
e todo número inteiro
, temos
.