Escreva as equações paramétricas do plano nos casos a seguir.
a) passa pelos pontos e e é paralelo ao vetor .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever as equações paramétricas do plano . Sabemos que esse plano passa pelos pontos e e é paralelo ao vetor . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar dois vetores que estão no plano . Já temos o vetor que é paralelo ao plano. Além disso, podemos encontrar outro vetor usando os pontos e . Vamos calcular o vetor :
Então, os dois vetores no plano são e .
Passo 3
Com dois vetores no plano e um ponto pelo qual o plano passa (o ponto ), podemos montar as equações paramétricas do plano. A ideia é expressar qualquer ponto no plano como uma combinação linear desses vetores a partir do ponto .
A equação paramétrica fica:
Onde s e t são parâmetros reais.
Passo 4
Substituindo os valores:
Ponto A(1,0,2): xA = 1, yA = 0, zA = 2
Vetor v=(0,1,2): vx = 0, vy = 1, vz = 2
Vetor AB=(1,-1,1): ABx = 1, ABy = -1, ABz = 1
Então, as equações paramétricas ficam:
x = 1 + 0 cdot s + 1 cdot t = 1 + t y = 0 + 1 cdot s -1 cdot t = s - t z = 2 + 2 cdot s + 1 cdot t = 2 + 2s + t