Escreva as equações paramétricas do plano alpha nos casos a seguir.
a) alpha passa pelos pontos A(1,0,2) e B(2,-1,3) e é paralelo ao vetor v=(0,1,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever as equações paramétricas do plano alpha. Sabemos que esse plano passa pelos pontos A(1,0,2) e B(2,-1,3) e é paralelo ao vetor v=(0,1,2). Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar dois vetores que estão no plano alpha. Já temos o vetor v=(0,1,2) que é paralelo ao plano. Além disso, podemos encontrar outro vetor usando os pontos A e B. Vamos calcular o vetor AB:
AB = B - A = (2 - 1, -1 - 0, 3 - 2) = (1, -1, 1)
Então, os dois vetores no plano alpha são v=(0,1,2) e AB=(1,-1,1).

Passo 3

Com dois vetores no plano e um ponto pelo qual o plano passa (o ponto A), podemos montar as equações paramétricas do plano. A ideia é expressar qualquer ponto P(x, y, z) no plano como uma combinação linear desses vetores a partir do ponto A.
A equação paramétrica fica:
x = xA + s cdot vx + t cdot ABx y = yA + s cdot vy + t cdot ABy z = zA + s cdot vz + t cdot ABz
Onde s e t são parâmetros reais.

Passo 4

Substituindo os valores:
  • Ponto A(1,0,2): xA = 1, yA = 0, zA = 2
  • Vetor v=(0,1,2): vx = 0, vy = 1, vz = 2
  • Vetor AB=(1,-1,1): ABx = 1, ABy = -1, ABz = 1
Então, as equações paramétricas ficam:
x = 1 + 0 cdot s + 1 cdot t = 1 + t y = 0 + 1 cdot s -1 cdot t = s - t z = 2 + 2 cdot s + 1 cdot t = 2 + 2s + t

Resposta

As equações paramétricas do plano alpha são:
x = 1 + t y = s - t z = 2 + 2s + t

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