Considere o espaço vetorial com as operações usuais. Para cada um dos itens, diga se os vetores são ld ou li. Justifique a sua resposta. .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se os vetores , e são linearmente dependentes (ld) ou linearmente independentes (li) no espaço vetorial . Para isso, vamos usar conceitos de combinação linear e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente dependente ou independente. Vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Se isso for possível, eles são linearmente dependentes.
Passo 3
Uma maneira prática de verificar isso é montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes. Se for zero, são dependentes.
Passo 4
Vamos montar a matriz com os vetores dados:
Passo 5
Agora, calculamos o determinante de . O determinante de uma matriz é calculado assim:
Onde:
Aplicando isso à nossa matriz:
Passo 6
Vamos calcular cada parte:
Passo 7
Como o determinante é , que é diferente de zero, isso significa que os vetores são linearmente independentes.