Verifique se o subconjunto W é subespaço vetorial de V.
W=(x, y) in R^2, x y=0 e V=R^2.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos um conjunto definido em como e queremos verificar se esse é um subespaço vetorial do espaço . Para isso, vamos precisar lembrar quais são as condições que um subconjunto precisa satisfazer para ser considerado um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, um subespaço vetorial precisa satisfazer três condições básicas:
  1. Não vazio: Deve conter pelo menos o vetor zero.
  2. Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores em , a soma deles também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar um vetor de por qualquer número real, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Não vazio: O vetor zero em 0 cdot 0 = 0 Rightarrow (0, 0) in W é 1 cdot 0 = 0 e 0 cdot 1 = 0 . Vamos ver se ele está em (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) :
1 cdot 1 = 1 neq 0
Então, não está vazio.
2. Fechado sob adição: Vamos pegar dois vetores em . Por exemplo, e . Ambos satisfazem :
Agora, somando esses vetores:
Vamos verificar se está em :
Como , não está em . Isso significa que não é fechado sob adição.

Resposta

Como o conjunto não é fechado sob adição, ele não é um subespaço vetorial de .

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