Prove que
e
são subespaços vetoriais de
, onde
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que
e
são subespaços vetoriais de
. Para isso, vamos usar os conceitos de álgebra linear sobre subespaços vetoriais. Precisamos verificar se cada um desses conjuntos satisfaz as três condições necessárias para ser um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado para adição e para multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar
.
- Verificar se o vetor zero está em
:
Substituindo, temos o vetor . Então, contém o vetor zero.
Passo 3
- Verificar se
é fechado para adição:
Sejam dois vetores quaisquer em, digamos e . A soma deles é: Como é um número real, a soma também está em .
Passo 4
- Verificar se
é fechado para multiplicação por escalar:
Sejaem e um escalar real. A multiplicação por escalar é: Novamente, é real, então está em .
Passo 5
Agora, vamos analisar
.
- Verificar se o vetor zero está em
:
Substituindoe , temos o vetor . Então, contém o vetor zero.
Passo 6
- Verificar se
é fechado para adição:
Sejam dois vetores quaisquer em, digamos e . A soma deles é: Como e são reais, a soma está em .
Passo 7
- Verificar se
é fechado para multiplicação por escalar:
Sejaem e um escalar real. A multiplicação por escalar é: Como e são reais, está em .
Resposta
Portanto,
e
satisfazem todas as condições para serem subespaços vetoriais de
.
Exercícios relacionados
Considere o espaço vetorial
com as operações usuais. Para cada um dos itens, diga se os vetores são ld ou li. Justifique a sua resposta.
.
Verifique se o subconjunto W é subespaço vetorial de V.
e
.
Verifique se o subconjunto W é subespaço vetorial de V.
e
é o conjunto das funções contínuas de
em
.