Prove que e são subespaços vetoriais de , onde
e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que e são subespaços vetoriais de . Para isso, vamos usar os conceitos de álgebra linear sobre subespaços vetoriais. Precisamos verificar se cada um desses conjuntos satisfaz as três condições necessárias para ser um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado para adição e para multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar .
  1. Verificar se o vetor zero está em :
    Substituindo , temos o vetor . Então, contém o vetor zero.

Passo 3

  1. Verificar se é fechado para adição:
    Sejam dois vetores quaisquer em , digamos e . A soma deles é: Como é um número real, a soma também está em .

Passo 4

  1. Verificar se é fechado para multiplicação por escalar:
    Seja em e um escalar real. A multiplicação por escalar é: Novamente, é real, então está em .

Passo 5

Agora, vamos analisar .
  1. Verificar se o vetor zero está em :
    Substituindo e , temos o vetor . Então, contém o vetor zero.

Passo 6

  1. Verificar se é fechado para adição:
    Sejam dois vetores quaisquer em , digamos e . A soma deles é: Como e são reais, a soma está em .

Passo 7

  1. Verificar se é fechado para multiplicação por escalar:
    Seja em e um escalar real. A multiplicação por escalar é: Como e são reais, está em .

Resposta

Portanto, e satisfazem todas as condições para serem subespaços vetoriais de .

Exercícios relacionados

Considere o espaço vetorial com as operações usuais. Para cada um dos itens, diga se os vetores são ld ou li. Justifique a sua resposta.
.
Verifique se o subconjunto W é subespaço vetorial de V.
e .
Verifique se o subconjunto W é subespaço vetorial de V.
e é o conjunto das funções contínuas de em .
) Prove a Identidade de Lagrange: Para quaisquer vetores e temos