Prove que S1 e S2 são subespaços vetoriais de R^3, onde
S1=(x, x, x) ; x in R e S2=(0, y, z) ; y, z in R

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que e são subespaços vetoriais de . Para isso, vamos usar os conceitos de álgebra linear sobre subespaços vetoriais. Precisamos verificar se cada um desses conjuntos satisfaz as três condições necessárias para ser um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado para adição e para multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar .
  1. Verificar se o vetor zero está em :
    Substituindo , temos o vetor . Então, contém o vetor zero.

Passo 3

  1. Verificar se u + v = (x + y, x + y, x + y) é fechado para adição:
    Sejam dois vetores quaisquer em , digamos e . A soma deles é: Como é um número real, a soma também está em .

Passo 4

  1. Verificar se cu = (cx, cx, cx) é fechado para multiplicação por escalar:
    Seja em e um escalar real. A multiplicação por escalar é: Novamente, é real, então está em .

Passo 5

Agora, vamos analisar .
  1. Verificar se o vetor zero está em :
    Substituindo e , temos o vetor . Então, contém o vetor zero.

Passo 6

  1. Verificar se u + v = (0 + 0, y1 + y2, z1 + z2) = (0, y1 + y2, z1 + z2) é fechado para adição:
    Sejam dois vetores quaisquer em , digamos e . A soma deles é: Como e são reais, a soma está em .

Passo 7

  1. Verificar se cu = (c cdot 0, c cdot y, c cdot z) = (0, cy, cz) é fechado para multiplicação por escalar:
    Seja em e um escalar real. A multiplicação por escalar é: Como e são reais, está em .

Resposta

Portanto, e satisfazem todas as condições para serem subespaços vetoriais de .

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