Seja a um número real, usando escalonamento, discuta em função dos valores de a, a natureza dos sistemas lineares:
(a) lx+y-z=2 2 x+3 y+z=6 -x-y+a z=a-3

Passo 1

Vamos analisar o sistema de equações lineares dado:
x + y - z = 2 2x + 3y + z = 6 - x - y + a z = a - 3
O objetivo é, utilizando o método de escalonamento (eliminação de Gauss), determinar como o valor de afeta a natureza das soluções desse sistema. Para isso, precisaremos manipular as equações para chegar a uma forma mais simples e identificar se o sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o sistema na forma de uma matriz aumentada:
1 & 1 & -1 & | & 2 2 & 3 & 1 & | & 6 -1 & -1 & a & | & a - 3
O método de escalonamento envolve transformar essa matriz em uma forma triangular superior, onde podemos facilmente resolver as variáveis.

Passo 3

Vamos começar eliminando o (2x + 3y + z) - (2x + 2y - 2z) = 6 - 4 y + 3z = 2 das equações 2 e 3 usando a equação 1.
Para a equação 2:
  • Multiplicamos a equação 1 por 2: (-x - y + a z) + (-x - y + z) = (a - 3) + (-2) -2x - 2y + (a + 1)z = a - 5
  • Subtraímos essa nova equação da equação 2 original:
Para a equação 3:
  • Multiplicamos a equação 1 por -1:
  • Somamos essa nova equação à equação 3 original:

Passo 4

Agora, temos o sistema simplificado:
x + y - z = 2 y + 3z = 2 -2x - 2y + (a + 1)z = a - 5
Vamos eliminar o 2y + 6z = 4 da terceira equação usando a segunda equação.
Multiplicamos a segunda equação por 2:
(-2x - 2y + (a + 1)z) + (2y + 6z) = (a - 5) + 4 -2x + (a + 7)z = a - 1
Agora, adicionamos essa equação à terceira equação:

Passo 5

Agora, nosso sistema está assim:
x + y - z = 2 y + 3z = 2 -2x + (a + 7)z = a - 1
Vamos resolver a segunda equação para y = 2 - 3z :
x + (2 - 3z) - z = 2 x + 2 - 4z = 2 x = 4z
Substituímos na primeira equação:

Passo 6

Agora, substituímos -2(4z) + (a + 7)z = a - 1 -8z + (a + 7)z = a - 1 (a - 1)z = a - 1 na terceira equação:
z = a - 1a - 1 = 1
Aqui, precisamos analisar dois casos:
  1. Caso x = 4(1) = 4 y = 2 - 3(1) = -1 (ou seja, 0 cdot z = 0 ):
x = 4z y = 2 - 3z
Então:
Portanto, quando , o sistema possui uma única solução: , , .
  1. Caso (ou seja, ):
    A equação se torna:
Isso significa que pode assumir qualquer valor. Substituindo na expressão de e :
Neste caso, o sistema possui infinitas soluções, pois é um parâmetro livre.

Resposta

  • Para , o sistema possui uma única solução: , , .
  • Para , o sistema possui infinitas soluções, com sendo um parâmetro livre.

Exercícios relacionados