Seja a um número real, usando escalonamento, discuta em função dos valores de , a natureza dos sistemas lineares:
(a)
Passo 1
Vamos analisar o sistema de equações lineares dado:
O objetivo é, utilizando o método de escalonamento (eliminação de Gauss), determinar como o valor de afeta a natureza das soluções desse sistema. Para isso, precisaremos manipular as equações para chegar a uma forma mais simples e identificar se o sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o sistema na forma de uma matriz aumentada:
O método de escalonamento envolve transformar essa matriz em uma forma triangular superior, onde podemos facilmente resolver as variáveis.
Passo 3
Vamos começar eliminando o das equações 2 e 3 usando a equação 1.
Para a equação 2:
Multiplicamos a equação 1 por 2:
Subtraímos essa nova equação da equação 2 original:
Para a equação 3:
Multiplicamos a equação 1 por -1:
Somamos essa nova equação à equação 3 original:
Passo 4
Agora, temos o sistema simplificado:
Vamos eliminar o da terceira equação usando a segunda equação.
Multiplicamos a segunda equação por 2:
Agora, adicionamos essa equação à terceira equação:
Passo 5
Agora, nosso sistema está assim:
Vamos resolver a segunda equação para :
Substituímos na primeira equação:
Passo 6
Agora, substituímos na terceira equação:
Aqui, precisamos analisar dois casos:
Caso (ou seja, ):
Então:
Portanto, quando , o sistema possui uma única solução: , , .
Caso (ou seja, ):
A equação se torna:
Isso significa que pode assumir qualquer valor. Substituindo na expressão de e :
Neste caso, o sistema possui infinitas soluções, pois é um parâmetro livre.
Resposta
Para , o sistema possui uma única solução: , , .
Para , o sistema possui infinitas soluções, com sendo um parâmetro livre.