Verifique se o subconjunto W é subespaço vetorial de V.
e
é o conjunto das funções contínuas de
em
.
Passo 1
Beleza, vamos analisar o enunciado juntos! A questão pede para verificar se o subconjunto
é um subespaço vetorial de
. Aqui,
é o conjunto de funções contínuas
de
para
que satisfazem
. Já
é o conjunto de todas as funções contínuas de
para
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são as propriedades que
deve cumprir para ser considerado um subespaço de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é considerado um subespaço vetorial se:
- Não vazio:
deve conter pelo menos o vetor zero. - Fechado sob adição: Se você pegar duas funções em
e somá-las, o resultado também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar uma função em
por um número real, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para
.
Passo 3
1.
não está vazio?
Sim! Vamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero no espaço das funções contínuas é a função
para todo
.
Vamos ver se essa função satisfaz
:
Então, a função zero está em
. Portanto,
não está vazio.
Passo 4
2.
é fechado sob adição?
Vamos pegar duas funções quaisquer em
, digamos
e
, onde:
Queremos verificar se
também está em
, ou seja, se:
Calculando:
Portanto,
satisfaz
, o que significa que
está em
. Logo,
é fechado sob adição.
Passo 5
3.
é fechado sob multiplicação por escalar?
Vamos pegar uma função
em
e um escalar
. Queremos verificar se
também está em
, ou seja, se:
Calculando:
Portanto,
satisfaz
, o que significa que
está em
. Logo,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
satisfaz todas as propriedades necessárias (não vazio, fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar), podemos concluir que
é um subespaço vetorial de
.