Verifique se o subconjunto W é subespaço vetorial de V. e é o conjunto das funções contínuas de em .
Passo 1
Beleza, vamos analisar o enunciado juntos! A questão pede para verificar se o subconjunto é um subespaço vetorial de . Aqui, é o conjunto de funções contínuas de para que satisfazem . Já é o conjunto de todas as funções contínuas de para .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são as propriedades que deve cumprir para ser considerado um subespaço de .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é considerado um subespaço vetorial se:
Não vazio: deve conter pelo menos o vetor zero.
Fechado sob adição: Se você pegar duas funções em e somá-las, o resultado também deve estar em .
Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar uma função em por um número real, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para .
Passo 3
1. não está vazio?
Sim! Vamos verificar se o vetor zero está em . O vetor zero no espaço das funções contínuas é a função para todo .
Vamos ver se essa função satisfaz :
Então, a função zero está em . Portanto, não está vazio.
Passo 4
2. é fechado sob adição?
Vamos pegar duas funções quaisquer em , digamos e , onde:
Queremos verificar se também está em , ou seja, se:
Calculando:
Portanto, satisfaz , o que significa que está em . Logo, é fechado sob adição.
Passo 5
3. é fechado sob multiplicação por escalar?
Vamos pegar uma função em e um escalar . Queremos verificar se também está em , ou seja, se:
Calculando:
Portanto, satisfaz , o que significa que está em . Logo, é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como satisfaz todas as propriedades necessárias (não vazio, fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar), podemos concluir que é um subespaço vetorial de .