Verifique se o subconjunto W é subespaço vetorial de V.
e é o conjunto das funções contínuas de em .

Passo 1

Beleza, vamos analisar o enunciado juntos! A questão pede para verificar se o subconjunto é um subespaço vetorial de . Aqui, é o conjunto de funções contínuas de para que satisfazem . Já é o conjunto de todas as funções contínuas de para .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são as propriedades que deve cumprir para ser considerado um subespaço de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é considerado um subespaço vetorial se:
  1. Não vazio: deve conter pelo menos o vetor zero.
  2. Fechado sob adição: Se você pegar duas funções em e somá-las, o resultado também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar uma função em por um número real, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para .

Passo 3

1. não está vazio?
Sim! Vamos verificar se o vetor zero está em . O vetor zero no espaço das funções contínuas é a função para todo .
Vamos ver se essa função satisfaz :
Então, a função zero está em . Portanto, não está vazio.

Passo 4

2. é fechado sob adição?
Vamos pegar duas funções quaisquer em , digamos e , onde:
Queremos verificar se também está em , ou seja, se:
Calculando:
Portanto, satisfaz , o que significa que está em . Logo, é fechado sob adição.

Passo 5

3. é fechado sob multiplicação por escalar?
Vamos pegar uma função em e um escalar . Queremos verificar se também está em , ou seja, se:
Calculando:
Portanto, satisfaz , o que significa que está em . Logo, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como satisfaz todas as propriedades necessárias (não vazio, fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar), podemos concluir que é um subespaço vetorial de .

Exercícios relacionados

Prove que e são subespaços vetoriais de , onde
e
Considere o espaço vetorial com as operações usuais. Para cada um dos itens, diga se os vetores são ld ou li. Justifique a sua resposta.
.
) Prove a Identidade de Lagrange: Para quaisquer vetores e temos
Considere a matriz
Encontre matrizes elementares tais que