Verifique se o subconjunto W é subespaço vetorial de V.
W=f in C^0(R), f(0)=f(1) e V=C^0(R) é o conjunto das funções contínuas de R em R.

Passo 1

Beleza, vamos analisar o enunciado juntos! A questão pede para verificar se o subconjunto é um subespaço vetorial de . Aqui, é o conjunto de funções contínuas de para que satisfazem . Já é o conjunto de todas as funções contínuas de para .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são as propriedades que deve cumprir para ser considerado um subespaço de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é considerado um subespaço vetorial se:
  1. Não vazio: deve conter pelo menos o vetor zero.
  2. Fechado sob adição: Se você pegar duas funções em e somá-las, o resultado também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar uma função em por um número real, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para .

Passo 3

1. f(0) = 0 = f(1) não está vazio?
Sim! Vamos verificar se o vetor zero está em . O vetor zero no espaço das funções contínuas é a função para todo .
Vamos ver se essa função satisfaz :
Então, a função zero está em . Portanto, não está vazio.

Passo 4

2. f(0) = f(1) e g(0) = g(1) é fechado sob adição?
Vamos pegar duas funções quaisquer em (f + g)(0) = (f + g)(1) , digamos (f + g)(0) = f(0) + g(0) = f(1) + g(1) = (f + g)(1) e , onde:
Queremos verificar se também está em , ou seja, se:
Calculando:
Portanto, satisfaz , o que significa que está em . Logo, é fechado sob adição.

Passo 5

3. (alpha f)(0) = (alpha f)(1) é fechado sob multiplicação por escalar?
Vamos pegar uma função (alpha f)(0) = alpha f(0) = alpha f(1) = (alpha f)(1) em e um escalar . Queremos verificar se também está em , ou seja, se:
Calculando:
Portanto, satisfaz , o que significa que está em . Logo, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como satisfaz todas as propriedades necessárias (não vazio, fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar), podemos concluir que é um subespaço vetorial de .

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