Considere o espaço vetorial
com as operações clássicas de adição e multiplicação por escalar e verifique se os subconjutos abaixo são subespaços vetoriais de
.
(a)
.
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
Vamos verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
.
Para isso, precisamos conferir três condições:
- Contém o vetor zero.
- Fechado sob adição.
- Fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
1. Verificar se o vetor zero está em
:
Substituindo
,
e
na equação:
Então, o vetor zero está em
.
Passo 3
2. Verificar se
é fechado sob adição:
Seja
e
em
. Então:
Somando as duas equações:
Portanto,
também está em
.
Passo 4
3. Verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar:
Seja
em
e
um escalar. Então:
Assim,
também está em
.
Passo 5
Agora, vamos verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
.
Lembrando as mesmas três condições:
- Contém o vetor zero.
- Fechado sob adição.
- Fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 6
1. Verificar se o vetor zero está em
:
Substituindo
,
e
na equação:
O vetor zero não está em
.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço vetorial de
.