Considere o espaço vetorial com as operações clássicas de adição e multiplicação por escalar e verifique se os subconjutos abaixo são subespaços vetoriais de .
(a) .
(b) .

Passo 1

Vamos verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de .
Para isso, precisamos conferir três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. Fechado sob adição.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

1. Verificar se o vetor zero está em :
Substituindo , e na equação:
Então, o vetor zero está em .

Passo 3

2. Verificar se é fechado sob adição:
Seja e em . Então:
Somando as duas equações:
Portanto, também está em .

Passo 4

3. Verificar se é fechado sob multiplicação por escalar:
Seja em e um escalar. Então:
Assim, também está em .

Passo 5

Agora, vamos verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de .
Lembrando as mesmas três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. Fechado sob adição.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 6

1. Verificar se o vetor zero está em :
Substituindo , e na equação:
O vetor zero não está em .

Resposta

O conjunto não é um subespaço vetorial de .

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Verifique se o conjunto com as operações:
(i)
(ii)
é um espaço vetorial. Justifique sua resposta analizando cada propriedade que deve ser satisfeita para poder definir um espaço vetorial.
Prove que o subconjunto dos vetores de com comprimento é um espaço vetorial se foram definidas as seguintes operações:
(i) ,
(ii) .
Seja definida por . Seja a base canônica para e seja outra base para . Encontre a matriz que representa em relaçāo a:
a)
Considere a transformaçāo linear dada pela matriz
numa base . Determine os autovalores e autovetores da transformaçāo .