Considere o espaço vetorial
com as operações clássicas de adição e multiplicação por escalar e verifique se os subconjutos abaixo são subespaços vetoriais de
.
(a)
.
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
Vamos verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
.
Para isso, precisamos conferir três condições:
- Contém o vetor zero.
- Fechado sob adição.
- Fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
1. Verificar se o vetor zero está em
:
Substituindo
,
e
na equação:
Então, o vetor zero está em
.
Passo 3
2. Verificar se
é fechado sob adição:
Seja
e
em
. Então:
Somando as duas equações:
Portanto,
também está em
.
Passo 4
3. Verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar:
Seja
em
e
um escalar. Então:
Assim,
também está em
.
Passo 5
Agora, vamos verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
.
Lembrando as mesmas três condições:
- Contém o vetor zero.
- Fechado sob adição.
- Fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 6
1. Verificar se o vetor zero está em
:
Substituindo
,
e
na equação:
O vetor zero não está em
.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço vetorial de
.
Exercícios relacionados
Verifique se o conjunto
com as operações:
(i)
(ii)
é um espaço vetorial. Justifique sua resposta analizando cada propriedade que deve ser satisfeita para poder definir um espaço vetorial.
(i)
(ii)
é um espaço vetorial. Justifique sua resposta analizando cada propriedade que deve ser satisfeita para poder definir um espaço vetorial.
Prove que o subconjunto
dos vetores de
com comprimento
é um espaço vetorial se foram definidas as seguintes operações:
(i) ,
(ii) .
(i)
(ii)
Seja
definida por
. Seja
a base canônica para
e seja
outra base para
. Encontre a matriz que representa
em relaçāo a:
a)
a)
Considere a transformaçāo linear
dada pela matriz
numa base
. Determine os autovalores e autovetores da transformaçāo
.