Considere o espaço vetorial R^3 com as operações clássicas de adição e multiplicação por escalar e verifique se os subconjutos abaixo são subespaços vetoriais de R^3.
(a) W1=x=(x1, x2, x3) in R^3 mid 2 x1-3 x2+4 x3=0.
(b) W2=x=(x1, x2, x3) in R^3 mid x1+3 x2-x3=1.

Passo 1

Vamos verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de .
Para isso, precisamos conferir três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. Fechado sob adição.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

1. Verificar se o vetor zero está em 2(0) - 3(0) + 4(0) = 0 :
Substituindo , e na equação:
Então, o vetor zero está em .

Passo 3

2. Verificar se 2u1 - 3u2 + 4u3 = 0 e 2v1 - 3v2 + 4v3 = 0 é fechado sob adição:
Seja 2(u1 + v1) - 3(u2 + v2) + 4(u3 + v3) = 0 + 0 = 0 e em . Então:
Somando as duas equações:
Portanto, também está em .

Passo 4

3. Verificar se 2(ku1) - 3(ku2) + 4(ku3) = k(2u1 - 3u2 + 4u3) = k cdot 0 = 0 é fechado sob multiplicação por escalar:
Seja em e um escalar. Então:
Assim, também está em .

Passo 5

Agora, vamos verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de .
Lembrando as mesmas três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. Fechado sob adição.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 6

1. Verificar se o vetor zero está em 0 + 3(0) - 0 = 0 neq 1 :
Substituindo , e na equação:
O vetor zero não está em .

Resposta

O conjunto não é um subespaço vetorial de .

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