Considere a transformaçāo linear
dada pela matriz
numa base
. Determine os autovalores e autovetores da transformaçāo
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o problema. Temos uma transformação linear
representada pela matriz
Nosso objetivo é encontrar os autovalores e autovetores dessa transformação. Para isso, vamos precisar entender o que são autovalores e autovetores e como encontrá-los usando a matriz dada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Autovalores são valores escalares
que satisfazem a equação
onde
é a matriz da transformação e
é a matriz identidade do mesmo tamanho que
. Vamos calcular isso passo a passo.
Passo 3
Vamos montar a matriz
:
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Expandindo os termos:
Substituindo de volta na expressão do determinante:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação característica:
Podemos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, os autovalores são:
Passo 5
Com os autovalores encontrados, vamos determinar os autovetores correspondentes a cada
.
Primeiro, para
, resolvemos a equação:
Substituindo na matriz:
Isso nos dá o sistema de equações:
Podemos escolher
, então um autovetor correspondente é:
Passo 6
Agora, para
, resolvemos a equação:
Substituindo na matriz:
Isso nos dá o sistema de equações:
Podemos escolher
, então um autovetor correspondente é:
Resposta
Os autovalores da transformação
são
e
, com os respectivos autovetores: