Considere a transformaçāo linear T dada pela matriz
(ll 1 & 4 3 & 2 ),
numa base C. Determine os autovalores e autovetores da transformaçāo T.

Passo 1

Vamos começar entendendo o problema. Temos uma transformação linear T representada pela matriz
1 & 4 3 & 2
Nosso objetivo é encontrar os autovalores e autovetores dessa transformação. Para isso, vamos precisar entender o que são autovalores e autovetores e como encontrá-los usando a matriz dada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Autovalores são valores escalares lambda que satisfazem a equação
det(A - lambda I) = 0
onde A é a matriz da transformação e I é a matriz identidade do mesmo tamanho que A. Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I:
A - lambda I = 1 - lambda & 4 3 & 2 - lambda
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(2 - lambda) - (4 times 3)
Expandindo os termos:
(1 - lambda)(2 - lambda) = 2 - lambda - 2lambda + lambda^2 = lambda^2 - 3lambda + 2
Substituindo de volta na expressão do determinante:
det(A - lambda I) = lambda^2 - 3lambda + 2 - 12 = lambda^2 - 3lambda - 10

Passo 4

Agora, resolvemos a equação característica:
lambda^2 - 3lambda - 10 = 0
Podemos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 3 pm raiz9 + 402 = 3 pm raiz492 = 3 pm 72
Portanto, os autovalores são:
lambda1 = 3 + 72 = 5 e lambda2 = 3 - 72 = -2

Passo 5

Com os autovalores encontrados, vamos determinar os autovetores correspondentes a cada lambda.
Primeiro, para lambda1 = 5, resolvemos a equação:
(A - 5I)v = 0
Substituindo na matriz:
A - 5I = 1 - 5 & 4 3 & 2 - 5 = -4 & 4 3 & -3
Isso nos dá o sistema de equações:
-4v1 + 4v2 = 0 Rightarrow v1 = v2
Podemos escolher v2 = 1, então um autovetor correspondente é:
v^(1) = 1 1

Passo 6

Agora, para lambda2 = -2, resolvemos a equação:
(A + 2I)v = 0
Substituindo na matriz:
A + 2I = 1 + 2 & 4 3 & 2 + 2 = 3 & 4 3 & 4
Isso nos dá o sistema de equações:
3v1 + 4v2 = 0 Rightarrow v1 = -43v2
Podemos escolher v2 = 3, então um autovetor correspondente é:
v^(2) = -4 3

Resposta

Os autovalores da transformação T são lambda1 = 5 e lambda2 = -2, com os respectivos autovetores:
v^(1) = 1 1 e v^(2) = -4 3

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