Considere a transformaçāo linear dada pela matriz
numa base . Determine os autovalores e autovetores da transformaçāo .

Passo 1

Vamos começar entendendo o problema. Temos uma transformação linear representada pela matriz
Nosso objetivo é encontrar os autovalores e autovetores dessa transformação. Para isso, vamos precisar entender o que são autovalores e autovetores e como encontrá-los usando a matriz dada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Autovalores são valores escalares que satisfazem a equação
onde é a matriz da transformação e é a matriz identidade do mesmo tamanho que . Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 3

Vamos montar a matriz :
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Expandindo os termos:
Substituindo de volta na expressão do determinante:

Passo 4

Agora, resolvemos a equação característica:
Podemos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, os autovalores são:

Passo 5

Com os autovalores encontrados, vamos determinar os autovetores correspondentes a cada .
Primeiro, para , resolvemos a equação:
Substituindo na matriz:
Isso nos dá o sistema de equações:
Podemos escolher , então um autovetor correspondente é:

Passo 6

Agora, para , resolvemos a equação:
Substituindo na matriz:
Isso nos dá o sistema de equações:
Podemos escolher , então um autovetor correspondente é:

Resposta

Os autovalores da transformação são e , com os respectivos autovetores:

Exercícios relacionados

Seja definida por . Seja a base canônica para e seja outra base para . Encontre a matriz que representa em relaçāo a:
a)
Considere o espaço vetorial com as operações clássicas de adição e multiplicação por escalar e verifique se os subconjutos abaixo são subespaços vetoriais de .
(a) .
(b) .
Considere o espaço vetorial com as operações clássicas de adição e multiplicação por escalar. Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços de .
(a) .
(b) .
Considere o subconjunto de
Responda com justificativa.
(a) é um subespaço de ?