numa base . Determine os autovalores e autovetores da transformaçāo .
Passo 1
Vamos começar entendendo o problema. Temos uma transformação linear representada pela matriz
Nosso objetivo é encontrar os autovalores e autovetores dessa transformação. Para isso, vamos precisar entender o que são autovalores e autovetores e como encontrá-los usando a matriz dada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Autovalores são valores escalares que satisfazem a equação
onde é a matriz da transformação e é a matriz identidade do mesmo tamanho que . Vamos calcular isso passo a passo.
Passo 3
Vamos montar a matriz :
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Expandindo os termos:
Substituindo de volta na expressão do determinante:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação característica:
Podemos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, os autovalores são:
Passo 5
Com os autovalores encontrados, vamos determinar os autovetores correspondentes a cada .
Primeiro, para , resolvemos a equação:
Substituindo na matriz:
Isso nos dá o sistema de equações:
Podemos escolher , então um autovetor correspondente é:
Passo 6
Agora, para , resolvemos a equação:
Substituindo na matriz:
Isso nos dá o sistema de equações:
Podemos escolher , então um autovetor correspondente é:
Resposta
Os autovalores da transformação são e , com os respectivos autovetores: