Prove que o subconjunto W dos vetores de R^2 com comprimento R é um espaço vetorial se foram definidas as seguintes operações:
(i) forall u=R(cos theta1, sin theta1), v=R(cos theta2, sin theta2) in W, u+v=R(cos (theta1+theta2), sin (theta1+theta2)) ;
(ii) forall u=R(cos theta1, sin theta1) in W, k in R, k u=R(cos k theta1, sin k theta1).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto de vetores no plano que todos têm comprimento . O objetivo é provar que é um espaço vetorial, ou seja, que ele satisfaz todas as propriedades exigidas para um espaço vetorial, considerando duas operações especiais de adição e multiplicação por escalar definidas no enunciado. Para isso, vamos precisar das definições de espaço vetorial e das propriedades que ele deve cumprir, além de entender como as operações estão sendo definidas aqui.

Passo 2

Vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo, no nosso caso os números reais , é um conjunto de elementos chamados vetores, junto com duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalar. Para ser um espaço vetorial, essas operações devem satisfazer oito axiomas, como fechamento, associatividade, existência de elemento neutro, etc.
No nosso exercício, as operações de adição e multiplicação por escalar são definidas de forma específica:
  • Adição:
  • Multiplicação por escalar:
Precisamos verificar se todas as propriedades de um espaço vetorial são satisfeitas por com essas operações.

Passo 3

Vamos começar verificando se a adição está bem definida e se o conjunto u + v = R( cos(theta1 + theta2), sin(theta1 + theta2) ) é fechado sob essa operação. Isso significa que, ao adicionar dois vetores de |u + v| = raiz ( R cos(theta1 + theta2) )^2 + ( R sin(theta1 + theta2) )^2 = R raiz cos^2(theta1 + theta2) + sin^2(theta1 + theta2) = R , o resultado também deve pertencer a .
Como , sabemos que . A definição da adição nos dá:
Vamos verificar o comprimento desse vetor resultante:
Portanto, a soma de dois vetores em também tem comprimento , ou seja, . Logo, está fechado sob a adição.

Passo 4

Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Precisamos mostrar que, para qualquer vetor k u = R ( cos(k theta1), sin(k theta1) ) e qualquer escalar |k u| = raiz ( R cos(k theta1) )^2 + ( R sin(k theta1) )^2 = R raiz cos^2(k theta1) + sin^2(k theta1) = R , o produto também está em .
Pela definição:
Calculando o comprimento desse vetor:
Assim, também tem comprimento , o que implica que . Portanto, está fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 5

Agora, precisamos verificar os oito axiomas que definem um espaço vetorial. Vamos ver cada um deles:
  1. Fechamento sob a adição: Já mostramos no Passo 3 que u + v = R ( cos(theta1 + theta2), sin(theta1 + theta2) ) = v + u está fechado sob adição.
  2. Comutatividade da adição: Para quaisquer (u + v) + w = R ( cos(theta1 + theta2 + theta3), sin(theta1 + theta2 + theta3) ) , u + (v + w) = R ( cos(theta1 + theta2 + theta3), sin(theta1 + theta2 + theta3) ) . Na nossa definição,
0 = R ( cos(0), sin(0) ) = R (1, 0)
Portanto, a comutatividade é satisfeita.
  1. Associatividade da adição: Para quaisquer u + 0 = R ( cos(theta1 + 0), sin(theta1 + 0) ) = R ( cos theta1, sin theta1 ) = u , -u = R ( cos(theta1 + pi), sin(theta1 + pi) ) . Calculando,
u + (-u) = R ( cos(theta1 + theta1 + pi), sin(theta1 + theta1 + pi) )
(a + b) u = a u + b u
Logo, associatividade é válida.
  1. Elemento neutro da adição: Deve existir um vetor (a + b) u = R ( cos( (a + b) theta1 ), sin( (a + b) theta1 ) ) tal que a u + b u = R ( cos(a theta1 + b theta1), sin(a theta1 + b theta1) ) = R ( cos( (a + b) theta1 ), sin( (a + b) theta1 ) ) para todo a (u + v) = a u + a v .
No nosso caso,
a (u + v) = R ( cos( a (theta1 + theta2) ), sin( a (theta1 + theta2) ) )
Verificando:
a u + a v = R ( cos(a theta1 + a theta2), sin(a theta1 + a theta2) )
Então, o elemento neutro existe.
  1. Existência de inverso aditivo: Para cada a (b u) = (a b) u , deve existir a (b u) = a ( R ( cos(b theta1), sin(b theta1) ) )= R ( cos(a (b theta1)), sin(a (b theta1)) ) tal que (ab) u = R ( cos( (a b) theta1 ), sin( (a b) theta1 ) ) .
Definimos,
Verificando:
Dependendo do valor de , isso deve resultar no elemento neutro . Portanto, o inverso aditivo existe.
  1. Distributividade da multiplicação por escalar:
Para qualquer escalar e vetor ,
Calculando ambos os lados usando as definições:
Assim, a distributividade é satisfeita.
  1. Distributividade da multiplicação por vetores: Para qualquer escalar e vetores ,
Aplicando as definições:
Os dois lados são iguais, então a propriedade está satisfeita.
  1. Associação da multiplicação por escalares:
Para quaisquer escalares e vetor ,
Calculando ambos,
São iguais, então essa propriedade também é válida.

Resposta

Como verificamos todas as propriedades necessárias para um espaço vetorial e elas são satisfeitas com as operações definidas, concluímos que o subconjunto dos vetores de com comprimento é, de fato, um espaço vetorial.

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