Prove que o subconjunto dos vetores de com comprimento é um espaço vetorial se foram definidas as seguintes operações:
(i) ,
(ii) .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto de vetores no plano que todos têm comprimento . O objetivo é provar que é um espaço vetorial, ou seja, que ele satisfaz todas as propriedades exigidas para um espaço vetorial, considerando duas operações especiais de adição e multiplicação por escalar definidas no enunciado. Para isso, vamos precisar das definições de espaço vetorial e das propriedades que ele deve cumprir, além de entender como as operações estão sendo definidas aqui.

Passo 2

Vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo, no nosso caso os números reais , é um conjunto de elementos chamados vetores, junto com duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalar. Para ser um espaço vetorial, essas operações devem satisfazer oito axiomas, como fechamento, associatividade, existência de elemento neutro, etc.
No nosso exercício, as operações de adição e multiplicação por escalar são definidas de forma específica:
  • Adição:
  • Multiplicação por escalar:
Precisamos verificar se todas as propriedades de um espaço vetorial são satisfeitas por com essas operações.

Passo 3

Vamos começar verificando se a adição está bem definida e se o conjunto é fechado sob essa operação. Isso significa que, ao adicionar dois vetores de , o resultado também deve pertencer a .
Como , sabemos que . A definição da adição nos dá:
Vamos verificar o comprimento desse vetor resultante:
Portanto, a soma de dois vetores em também tem comprimento , ou seja, . Logo, está fechado sob a adição.

Passo 4

Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Precisamos mostrar que, para qualquer vetor e qualquer escalar , o produto também está em .
Pela definição:
Calculando o comprimento desse vetor:
Assim, também tem comprimento , o que implica que . Portanto, está fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 5

Agora, precisamos verificar os oito axiomas que definem um espaço vetorial. Vamos ver cada um deles:
  1. Fechamento sob a adição: Já mostramos no Passo 3 que está fechado sob adição.
  2. Comutatividade da adição: Para quaisquer , . Na nossa definição,
Portanto, a comutatividade é satisfeita.
  1. Associatividade da adição: Para quaisquer , . Calculando,
Logo, associatividade é válida.
  1. Elemento neutro da adição: Deve existir um vetor tal que para todo .
No nosso caso,
Verificando:
Então, o elemento neutro existe.
  1. Existência de inverso aditivo: Para cada , deve existir tal que .
Definimos,
Verificando:
Dependendo do valor de , isso deve resultar no elemento neutro . Portanto, o inverso aditivo existe.
  1. Distributividade da multiplicação por escalar:
Para qualquer escalar e vetor ,
Calculando ambos os lados usando as definições:
Assim, a distributividade é satisfeita.
  1. Distributividade da multiplicação por vetores: Para qualquer escalar e vetores ,
Aplicando as definições:
Os dois lados são iguais, então a propriedade está satisfeita.
  1. Associação da multiplicação por escalares:
Para quaisquer escalares e vetor ,
Calculando ambos,
São iguais, então essa propriedade também é válida.

Resposta

Como verificamos todas as propriedades necessárias para um espaço vetorial e elas são satisfeitas com as operações definidas, concluímos que o subconjunto dos vetores de com comprimento é, de fato, um espaço vetorial.

Exercícios relacionados

Seja uma transformação linear tal que , $T(1,1,0)=(5,2,7), : é sobrejetiva? Justifique.
Prove que o conjunto com as operações:
(i)
(ii)
não é um espaço vetorial identificando quais das condições não são satisfeitas.
Verifique se o conjunto com as operações:
(i)
(ii)
é um espaço vetorial. Justifique sua resposta analizando cada propriedade que deve ser satisfeita para poder definir um espaço vetorial.
Considere o espaço vetorial com as operações clássicas de adição e multiplicação por escalar e verifique se os subconjutos abaixo são subespaços vetoriais de .
(a) .
(b) .