Prove que o subconjunto
dos vetores de
com comprimento
é um espaço vetorial se foram definidas as seguintes operações:
(i)
,
(ii)
.
(i)
(ii)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto
de vetores no plano
que todos têm comprimento
. O objetivo é provar que
é um espaço vetorial, ou seja, que ele satisfaz todas as propriedades exigidas para um espaço vetorial, considerando duas operações especiais de adição e multiplicação por escalar definidas no enunciado. Para isso, vamos precisar das definições de espaço vetorial e das propriedades que ele deve cumprir, além de entender como as operações estão sendo definidas aqui.
Passo 2
Vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo, no nosso caso os números reais
, é um conjunto de elementos chamados vetores, junto com duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalar. Para
ser um espaço vetorial, essas operações devem satisfazer oito axiomas, como fechamento, associatividade, existência de elemento neutro, etc.
No nosso exercício, as operações de adição e multiplicação por escalar são definidas de forma específica:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
Precisamos verificar se todas as propriedades de um espaço vetorial são satisfeitas por
com essas operações.
Passo 3
Vamos começar verificando se a adição está bem definida e se o conjunto
é fechado sob essa operação. Isso significa que, ao adicionar dois vetores de
, o resultado também deve pertencer a
.
Como
, sabemos que
. A definição da adição nos dá:
Vamos verificar o comprimento desse vetor resultante:
Portanto, a soma de dois vetores em
também tem comprimento
, ou seja,
. Logo,
está fechado sob a adição.
Passo 4
Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Precisamos mostrar que, para qualquer vetor
e qualquer escalar
, o produto
também está em
.
Pela definição:
Calculando o comprimento desse vetor:
Assim,
também tem comprimento
, o que implica que
. Portanto,
está fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 5
Agora, precisamos verificar os oito axiomas que definem um espaço vetorial. Vamos ver cada um deles:
- Fechamento sob a adição: Já mostramos no Passo 3 que
está fechado sob adição. - Comutatividade da adição: Para quaisquer
, . Na nossa definição,
Portanto, a comutatividade é satisfeita.
- Associatividade da adição: Para quaisquer
, . Calculando,
Logo, associatividade é válida.
- Elemento neutro da adição: Deve existir um vetor
tal que para todo .
No nosso caso,
Verificando:
Então, o elemento neutro existe.
- Existência de inverso aditivo: Para cada
, deve existir tal que .
Definimos,
Verificando:
Dependendo do valor de
, isso deve resultar no elemento neutro
. Portanto, o inverso aditivo existe.
- Distributividade da multiplicação por escalar:
Para qualquer escalar
e vetor
,
Calculando ambos os lados usando as definições:
Assim, a distributividade é satisfeita.
- Distributividade da multiplicação por vetores: Para qualquer escalar
e vetores ,
Aplicando as definições:
Os dois lados são iguais, então a propriedade está satisfeita.
- Associação da multiplicação por escalares:
Para quaisquer escalares
e vetor
,
Calculando ambos,
São iguais, então essa propriedade também é válida.
Resposta
Como verificamos todas as propriedades necessárias para um espaço vetorial e elas são satisfeitas com as operações definidas, concluímos que o subconjunto
dos vetores de
com comprimento
é, de fato, um espaço vetorial.
Exercícios relacionados
Seja
uma transformação linear tal que
, $T(1,1,0)=(5,2,7),
:
é sobrejetiva? Justifique.
Prove que o conjunto
com as operações:
(i)
(ii)
não é um espaço vetorial identificando quais das condições não são satisfeitas.
(i)
(ii)
não é um espaço vetorial identificando quais das condições não são satisfeitas.
Verifique se o conjunto
com as operações:
(i)
(ii)
é um espaço vetorial. Justifique sua resposta analizando cada propriedade que deve ser satisfeita para poder definir um espaço vetorial.
(i)
(ii)
é um espaço vetorial. Justifique sua resposta analizando cada propriedade que deve ser satisfeita para poder definir um espaço vetorial.
Considere o espaço vetorial
com as operações clássicas de adição e multiplicação por escalar e verifique se os subconjutos abaixo são subespaços vetoriais de
.
(a) .
(b) .
(a)
(b)