Seja definida por . Seja a base canônica para e seja outra base para . Encontre a matriz que representa em relaçāo a:
a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a matriz que representa a transformação linear em relação à base canônica de . Isso está relacionado ao estudo de transformações lineares e mudanças de base. Para resolver isso, vamos precisar saber como a transformação atua nos vetores da base canônica e então construir a matriz com esses resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a base canônica para é formada pelos vetores e . Para encontrar a matriz de em relação a , precisamos ver como transforma cada um desses vetores da base.

Passo 3

Vamos aplicar a transformação em :
Então, .

Passo 4

Agora, vamos aplicar em :
Portanto, .

Passo 5

Agora que temos e , podemos construir a matriz de em relação à base . Essa matriz será formada colocando os resultados das transformações como colunas:

Resposta

A matriz que representa em relação à base canônica é:

Exercícios relacionados

Considere o espaço vetorial com as operações clássicas de adição e multiplicação por escalar e verifique se os subconjutos abaixo são subespaços vetoriais de .
(a) .
(b) .
Verifique se o conjunto com as operações:
(i)
(ii)
é um espaço vetorial. Justifique sua resposta analizando cada propriedade que deve ser satisfeita para poder definir um espaço vetorial.
Considere a transformaçāo linear dada pela matriz
numa base . Determine os autovalores e autovetores da transformaçāo .
Considere o espaço vetorial com as operações clássicas de adição e multiplicação por escalar. Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços de .
(a) .
(b) .