Seja L: R^2 R^2 definida por L([lx y])=[lx+2 y 2 x-y]. Seja S a base canônica para R^2 e seja T=[c-1 2],[l2 0] outra base para R^2. Encontre a matriz que representa L em relaçāo a:
a) S

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a matriz que representa a transformação linear em relação à base canônica de . Isso está relacionado ao estudo de transformações lineares e mudanças de base. Para resolver isso, vamos precisar saber como a transformação atua nos vetores da base canônica e então construir a matriz com esses resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a base canônica 1 0 para 0 1 é formada pelos vetores e . Para encontrar a matriz de em relação a , precisamos ver como transforma cada um desses vetores da base.

Passo 3

Vamos aplicar a transformação L(1 0) = 1 + 2 cdot 0 2 cdot 1 - 0 = 1 2 em 1 2:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos aplicar L(0 1) = 0 + 2 cdot 1 2 cdot 0 - 1 = 2 -1 em 2 -1:
Portanto, .

Passo 5

Agora que temos AS = 1 & 2 2 & -1 e , podemos construir a matriz de em relação à base . Essa matriz será formada colocando os resultados das transformações como colunas:

Resposta

A matriz que representa 1 & 2 2 & -1 em relação à base canônica é:

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