Verifique se o conjunto V=v=(v1, v2, 1) in R^3 mid vi in R com as operações:
(i) v+u=(v1+u1, v2+u2, 1)
(ii) k v=(v1, k v2, 1)
é um espaço vetorial. Justifique sua resposta analizando cada propriedade que deve ser satisfeita para poder definir um espaço vetorial.

Passo 1

Beleza! A gente tem um conjunto com duas operações definidas:
  1. Soma de vetores:
  2. Multiplicação por escalar:
Queremos verificar se com essas operações é um espaço vetorial. Para isso, vamos lembrar que um espaço vetorial precisa satisfazer várias propriedades (axiomas) como fechamento, existência de identidade, etc. Vamos analisar cada uma dessas propriedades passo a passo para ver se são atendidas nesse conjunto.

Passo 2

1. Fechamento sob a soma de vetores
O que é isso? Queremos ver se, ao somar dois vetores do conjunto , o resultado também está em .
Como verificar? Tomemos dois vetores quaisquer e em . Sua soma é .
Análise: O terceiro componente da soma é sempre 1, assim como nos vetores originais. Portanto, também pertence a .
Conclusão: A soma de dois vetores em está em . ✅

Passo 3

2. Comutatividade da soma
O que é isso? A ordem na soma não altera o resultado.
Como verificar? Pegamos e .
Análise: Como a adição de números reais é comutativa ( ), temos .
Conclusão: A soma é comutativa. ✅

Passo 4

3. Associatividade da soma
O que é isso? A maneira de agrupar os vetores na soma não altera o resultado.
Como verificar? Tomemos três vetores em .
Análise: Os dois resultados são iguais.
Conclusão: A soma é associativa. ✅

Passo 5

4. Existência do elemento neutro (vetor zero)
O que é isso? Existe um vetor em que, quando somado a qualquer vetor de , não o altera.
Como verificar? Precisamos encontrar em tal que .
Análise: . Então, o vetor funciona como vetor zero nesse conjunto.
Conclusão: Existe um elemento neutro. ✅

Passo 6

5. Existência dos vetores inversos (elemento oposto)
O que é isso? Para cada vetor em , deve existir outro vetor que, somado a ele, resulta no vetor zero.
Como verificar? Para , queremos tal que .
Análise: Somando: . Mas o vetor zero em é , então funciona. Porém, o terceiro componente sempre é 1, então não há realmente um “inverso” no sentido tradicional que anule todos os componentes.
Conclusão: Embora possamos encontrar um vetor que satisfaça a soma, ele não anula o terceiro componente de forma adequada. ❌

Passo 7

6. Fechamento sob a multiplicação por escalar
O que �� isso? Multiplicar um vetor de por um escalar deve resultar em outro vetor de .
Como verificar? Tomemos e multipliquemos por : .
Análise: O terceiro componente permanece 1, independentemente de . Portanto, pertence a .
Conclusão: é fechado sob multiplicação por escalar. ✅

Passo 8

7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores
O que é isso? .
Como verificar?
LHS:
RHS:
Análise: O segundo componente é igual, mas o terceiro componente em LHS é 1 enquanto em RHS é 1 + 1 = 2, o que não coincide.
Conclusão: A distributividade não é satisfeita. ❌

Resposta

O conjunto com as operações definidas não é um espaço vetorial, pois não satisfaz todas as propriedades necessárias, especificamente a existência de vetores inversos adequados e a distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma.

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