Verifique se o conjunto
com as operações:
(i)
(ii)
é um espaço vetorial. Justifique sua resposta analizando cada propriedade que deve ser satisfeita para poder definir um espaço vetorial.
(i)
(ii)
é um espaço vetorial. Justifique sua resposta analizando cada propriedade que deve ser satisfeita para poder definir um espaço vetorial.
Passo 1
Beleza! A gente tem um conjunto
com duas operações definidas:
- Soma de vetores:
- Multiplicação por escalar:
Queremos verificar se
com essas operações é um espaço vetorial. Para isso, vamos lembrar que um espaço vetorial precisa satisfazer várias propriedades (axiomas) como fechamento, existência de identidade, etc. Vamos analisar cada uma dessas propriedades passo a passo para ver se são atendidas nesse conjunto.
Passo 2
1. Fechamento sob a soma de vetores
O que é isso? Queremos ver se, ao somar dois vetores do conjunto
, o resultado também está em
.
Como verificar? Tomemos dois vetores quaisquer
e
em
. Sua soma é
.
Análise: O terceiro componente da soma é sempre 1, assim como nos vetores originais. Portanto,
também pertence a
.
Conclusão: A soma de dois vetores em
está em
. ✅
Passo 3
2. Comutatividade da soma
O que é isso? A ordem na soma não altera o resultado.
Como verificar? Pegamos
e
.
Análise: Como a adição de números reais é comutativa (
), temos
.
Conclusão: A soma é comutativa. ✅
Passo 4
3. Associatividade da soma
O que é isso? A maneira de agrupar os vetores na soma não altera o resultado.
Como verificar? Tomemos três vetores
em
.
Análise: Os dois resultados são iguais.
Conclusão: A soma é associativa. ✅
Passo 5
4. Existência do elemento neutro (vetor zero)
O que é isso? Existe um vetor em
que, quando somado a qualquer vetor de
, não o altera.
Como verificar? Precisamos encontrar
em
tal que
.
Análise:
. Então, o vetor
funciona como vetor zero nesse conjunto.
Conclusão: Existe um elemento neutro. ✅
Passo 6
5. Existência dos vetores inversos (elemento oposto)
O que é isso? Para cada vetor em
, deve existir outro vetor que, somado a ele, resulta no vetor zero.
Como verificar? Para
, queremos
tal que
.
Análise: Somando:
. Mas o vetor zero em
é
, então funciona. Porém, o terceiro componente sempre é 1, então não há realmente um “inverso” no sentido tradicional que anule todos os componentes.
Conclusão: Embora possamos encontrar um vetor que satisfaça a soma, ele não anula o terceiro componente de forma adequada. ❌
Passo 7
6. Fechamento sob a multiplicação por escalar
O que �� isso? Multiplicar um vetor de
por um escalar
deve resultar em outro vetor de
.
Como verificar? Tomemos
e multipliquemos por
:
.
Análise: O terceiro componente permanece 1, independentemente de
. Portanto,
pertence a
.
Conclusão:
é fechado sob multiplicação por escalar. ✅
Passo 8
7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores
O que é isso?
.
Como verificar?
LHS:
RHS:
Análise: O segundo componente é igual, mas o terceiro componente em LHS é 1 enquanto em RHS é 1 + 1 = 2, o que não coincide.
Conclusão: A distributividade não é satisfeita. ❌
Resposta
O conjunto
com as operações definidas não é um espaço vetorial, pois não satisfaz todas as propriedades necessárias, especificamente a existência de vetores inversos adequados e a distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma.