Considere o espaço vetorial e o subespaço gerado pelo conjunto
Determine uma base para o subespaço .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um conjunto de vetores em e precisa encontrar uma base para o subespaço que eles geram. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais e bases. Para resolver isso, vamos precisar verificar quais vetores são linearmente independentes e formar a base a partir deles.
Passo 2
Primeiro, vamos listar os vetores que nos foram dados:
A ideia aqui é ver se esses vetores são independentes ou se algum deles pode ser escrito como combinação dos outros. Se sim, a gente pode descartá-los para simplificar.
Passo 3
Vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas:
Agora, vamos usar o método da eliminação de Gauss para reduzir essa matriz e descobrir quais colunas são pivôs, ou seja, quais vetores são independentes.
Passo 4
Começamos com a primeira coluna. O primeiro elemento é 2, que já é bom para a gente usar como pivô. Vamos zerar os elementos abaixo dele.
Para a segunda linha: adicionamos da primeira linha à segunda.
Para a terceira linha: já está zero, então não precisamos fazer nada.
Após essas operações, a matriz fica:
Passo 5
Agora, vamos para a segunda coluna. O elemento 2.5 é o nosso próximo pivô. Vamos zerar o elemento abaixo dele na terceira linha.
Multiplicamos a segunda linha por e subtraímos da terceira linha.
Após essa operação, a matriz fica:
Passo 6
Observamos que temos três pivôs (um em cada coluna principal que apareceu), o que indica que os três primeiros vetores são independentes. Assim, podemos usar , e como base para o subespaço .