Considere o espaço vetorial e o subespaço gerado pelo conjunto
Determine uma base para o subespaço .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um conjunto de vetores em e precisa encontrar uma base para o subespaço que eles geram. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais e bases. Para resolver isso, vamos precisar verificar quais vetores são linearmente independentes e formar a base a partir deles.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os vetores que nos foram dados:
A ideia aqui é ver se esses vetores são independentes ou se algum deles pode ser escrito como combinação dos outros. Se sim, a gente pode descartá-los para simplificar.

Passo 3

Vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas:
Agora, vamos usar o método da eliminação de Gauss para reduzir essa matriz e descobrir quais colunas são pivôs, ou seja, quais vetores são independentes.

Passo 4

Começamos com a primeira coluna. O primeiro elemento é 2, que já é bom para a gente usar como pivô. Vamos zerar os elementos abaixo dele.
  • Para a segunda linha: adicionamos da primeira linha à segunda.
  • Para a terceira linha: já está zero, então não precisamos fazer nada.
Após essas operações, a matriz fica:

Passo 5

Agora, vamos para a segunda coluna. O elemento 2.5 é o nosso próximo pivô. Vamos zerar o elemento abaixo dele na terceira linha.
  • Multiplicamos a segunda linha por e subtraímos da terceira linha.
Após essa operação, a matriz fica:

Passo 6

Observamos que temos três pivôs (um em cada coluna principal que apareceu), o que indica que os três primeiros vetores são independentes. Assim, podemos usar , e como base para o subespaço .

Resposta

Uma base para o subespaço é o conjunto .

Exercícios relacionados

Verifique, em cada caso, se o conjunto é um subespaço vetorial de :
(a) ;
(b) ;
© ;
(d) .
Demonstrar que se é unitário, então a distância da origem ao plano é .
Faça uma tabela de valores de para próximo de 0 e estime qual será o valor do limite.
Considere uma matriz cujas colunas são formadas pelos vetores . Seja uma matriz cujas colunas satisfazem: , e . Sabendo que , assinale o valor :
(A) 4
(B) 5
© 1
(D) 0
(E) 2
(F) -1
(G) -2
(H) 3
(I) Não sei