Considere o espaço vetorial R^3 e o subespaço [S] gerado pelo conjunto
S=(2,-1,0),(-1,3,2),(5,0,2),(1,0,1)
Determine uma base para o subespaço [S].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um conjunto de vetores em R^3 e precisa encontrar uma base para o subespaço que eles geram. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais e bases. Para resolver isso, vamos precisar verificar quais vetores são linearmente independentes e formar a base a partir deles.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os vetores que nos foram dados:
S = v1 = (2, -1, 0), v2 = (-1, 3, 2), v3 = (5, 0, 2), v4 = (1, 0, 1)
A ideia aqui é ver se esses vetores são independentes ou se algum deles pode ser escrito como combinação dos outros. Se sim, a gente pode descartá-los para simplificar.

Passo 3

Vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas:
A = 2 & -1 & 5 & 1 -1 & 3 & 0 & 0 0 & 2 & 2 & 1
Agora, vamos usar o método da eliminação de Gauss para reduzir essa matriz e descobrir quais colunas são pivôs, ou seja, quais vetores são independentes.

Passo 4

Começamos com a primeira coluna. O primeiro elemento é 2, que já é bom para a gente usar como pivô. Vamos zerar os elementos abaixo dele.
  • Para a segunda linha: adicionamos 12 da primeira linha à segunda.
  • Para a terceira linha: já está zero, então não precisamos fazer nada.
Após essas operações, a matriz fica:
2 & -1 & 5 & 1 0 & 2.5 & 2.5 & 0.5 0 & 2 & 2 & 1

Passo 5

Agora, vamos para a segunda coluna. O elemento 2.5 é o nosso próximo pivô. Vamos zerar o elemento abaixo dele na terceira linha.
  • Multiplicamos a segunda linha por 45 e subtraímos da terceira linha.
Após essa operação, a matriz fica:
2 & -1 & 5 & 1 0 & 2.5 & 2.5 & 0.5 0 & 0 & 0 & 0.6

Passo 6

Observamos que temos três pivôs (um em cada coluna principal que apareceu), o que indica que os três primeiros vetores são independentes. Assim, podemos usar v1, v2 e v4 como base para o subespaço [S].

Resposta

Uma base para o subespaço [S] é o conjunto , (2,-1,0), (-1,3,2), (1,0,1) ,.

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