Demonstrar que se
é unitário, então a distância da origem ao plano
é
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa demonstrar que, se o vetor
é unitário, então a distância da origem até o plano definido pela equação
é igual a
. Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente a fórmula da distância de um ponto a um plano.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula para calcular a distância
de um ponto
a um plano dado pela equação
. A fórmula é:
Essa fórmula nos dá a distância perpendicular do ponto ao plano.
Passo 3
No nosso caso, queremos a distância da origem ao plano. A origem tem as coordenadas
. Vamos substituir esses valores na fórmula:
Passo 4
Simplificando a expressão no numerador:
Passo 5
Agora, lembramos que o vetor
é unitário. Isso significa que o comprimento (ou magnitude) desse vetor é 1. A magnitude de um vetor
é dada por:
Passo 6
Substituindo a magnitude na nossa expressão para
:
Resposta
Portanto, a distância da origem ao plano
é igual a
.