Demonstrar que se (a, b, c) é unitário, então a distância da origem ao plano a x+b y+c z=d é |d|.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa demonstrar que, se o vetor (a, b, c) é unitário, então a distância da origem até o plano definido pela equação a x + b y + c z = d é igual a |d|. Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente a fórmula da distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula para calcular a distância D de um ponto (x0, y0, z0) a um plano dado pela equação a x + b y + c z = d. A fórmula é:
D = |a x0 + b y0 + c z0 - d|raiza^2 + b^2 + c^2
Essa fórmula nos dá a distância perpendicular do ponto ao plano.

Passo 3

No nosso caso, queremos a distância da origem ao plano. A origem tem as coordenadas (0, 0, 0). Vamos substituir esses valores na fórmula:
D = |a cdot 0 + b cdot 0 + c cdot 0 - d|raiza^2 + b^2 + c^2

Passo 4

Simplificando a expressão no numerador:
D = |-d|raiza^2 + b^2 + c^2 = |d|raiza^2 + b^2 + c^2

Passo 5

Agora, lembramos que o vetor (a, b, c) é unitário. Isso significa que o comprimento (ou magnitude) desse vetor é 1. A magnitude de um vetor (a, b, c) é dada por:
raiza^2 + b^2 + c^2 = 1

Passo 6

Substituindo a magnitude na nossa expressão para D:
D = |d|1 = |d|

Resposta

Portanto, a distância da origem ao plano a x + b y + c z = d é igual a |d|.

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