Demonstrar que se é unitário, então a distância da origem ao plano é .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa demonstrar que, se o vetor é unitário, então a distância da origem até o plano definido pela equação é igual a . Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente a fórmula da distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula para calcular a distância de um ponto a um plano dado pela equação . A fórmula é:
Essa fórmula nos dá a distância perpendicular do ponto ao plano.

Passo 3

No nosso caso, queremos a distância da origem ao plano. A origem tem as coordenadas . Vamos substituir esses valores na fórmula:

Passo 4

Simplificando a expressão no numerador:

Passo 5

Agora, lembramos que o vetor é unitário. Isso significa que o comprimento (ou magnitude) desse vetor é 1. A magnitude de um vetor é dada por:

Passo 6

Substituindo a magnitude na nossa expressão para :

Resposta

Portanto, a distância da origem ao plano é igual a .

Exercícios relacionados

Determinar a equação do plano , que contém o ponto e é perpendicular à reta , interseção dos planos e .
Determinar a posição relativa entre as retas .
Verifique, em cada caso, se o conjunto é um subespaço vetorial de :
(a) ;
(b) ;
© ;
(d) .
Considere o espaço vetorial e o subespaço gerado pelo conjunto
Determine uma base para o subespaço .