Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial de
:
(a)
;
(b)
;
©
;
(d)
.
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no conjunto
. Estamos trabalhando com subespaços vetoriais no espaço
. Para verificar se
é um subespaço vetorial, precisamos ver se ele satisfaz três condições principais:
- Contém o vetor nulo.
- É fechado sob adição de vetores.
- É fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se o vetor nulo
está em
. Substituindo
e
na equação
:
Isso é verdadeiro, então o vetor nulo está em
.
Passo 3
Agora, vamos ver se
é fechado sob a adição de vetores. Vamos pegar dois vetores quaisquer em
, digamos
e
, onde:
A soma desses vetores é
. Vamos verificar se essa soma também está em
:
Como a soma satisfaz a condição
, a soma está em
.
Passo 4
Por último, vamos checar se
é fechado sob a multiplicação por escalar. Seja
um número real qualquer e
, então:
Multiplicando esse vetor por
, temos
. Vamos verificar se:
Isso mostra que
, então
também pertence a
.
Passo 5
Agora, vamos analisar o conjunto
. Novamente, estamos verificando se isso é um subespaço vetorial em
. As três condições que precisamos checar são:
- Contém o vetor nulo.
- É fechado sob adição de vetores.
- É fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 6
Primeiro, vamos ver se o vetor nulo
está em
. Substituindo
e
na equação
:
Isso não é igual a 1, então o vetor nulo não está em
.
Passo 7
Vamos examinar o conjunto
. Estamos avaliando se
é um subespaço vetorial em
. As condições a serem verificadas são:
- Contém o vetor nulo.
- É fechado sob adição de vetores.
- É fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 8
Primeiro, checamos se o vetor nulo
está em
. Substituindo
e
na equação
:
Isso é verdadeiro, então o vetor nulo está em
.
Passo 9
Agora, vamos verificar se
é fechado sob a adição de vetores. Pegamos dois vetores quaisquer em
, digamos
e
, onde:
A soma desses vetores é
. Vamos verificar se
:
A menos que
, geralmente
. Portanto, a soma dos vetores não está necessariamente em
.
Passo 10
Por fim, vamos analisar o conjunto
. Estamos verificando se este conjunto é um subespaço vetorial em
. As três condições a serem verificadas são:
- Contém o vetor nulo.
- É fechado sob adição de vetores.
- É fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 11
Primeiro, verificamos se o vetor nulo
está em
. Substituindo
e
na equação
:
Isso é verdadeiro, então o vetor nulo está em
.
Passo 12
Agora, vamos checar se
é fechado sob a adição de vetores. Pegamos dois vetores quaisquer em
, digamos
e
, onde:
A soma desses vetores é
. Vamos verificar se:
Então, a soma está em
.
Passo 13
Por último, vamos verificar o fechamento sob multiplicação por escalar. Seja
um escalar qualquer e
, então:
Multiplicando por
, obtemos
. Verificando a condição:
Portanto,
está em
.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço vetorial de
.
Exercícios relacionados
Demonstrar que se
é unitário, então a distância da origem ao plano
é
.
Determinar a equação do plano
, que contém o ponto
e é perpendicular à reta
, interseção dos planos
e
.
Considere o espaço vetorial
e o subespaço
gerado pelo conjunto
Determine uma base para o subespaço
.
Faça uma tabela de valores de
para
próximo de 0 e estime qual será o valor do limite.