Verifique, em cada caso, se o conjunto é um subespaço vetorial de :
(a) ;
(b) ;
© ;
(d) .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no conjunto . Estamos trabalhando com subespaços vetoriais no espaço . Para verificar se é um subespaço vetorial, precisamos ver se ele satisfaz três condições principais:
  1. Contém o vetor nulo.
  2. É fechado sob adição de vetores.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se o vetor nulo está em . Substituindo e na equação :
Isso é verdadeiro, então o vetor nulo está em .

Passo 3

Agora, vamos ver se é fechado sob a adição de vetores. Vamos pegar dois vetores quaisquer em , digamos e , onde:
A soma desses vetores é . Vamos verificar se essa soma também está em :
Como a soma satisfaz a condição , a soma está em .

Passo 4

Por último, vamos checar se é fechado sob a multiplicação por escalar. Seja um número real qualquer e , então:
Multiplicando esse vetor por , temos . Vamos verificar se:
Isso mostra que , então também pertence a .

Passo 5

Agora, vamos analisar o conjunto . Novamente, estamos verificando se isso é um subespaço vetorial em . As três condições que precisamos checar são:
  1. Contém o vetor nulo.
  2. É fechado sob adição de vetores.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 6

Primeiro, vamos ver se o vetor nulo está em . Substituindo e na equação :
Isso não é igual a 1, então o vetor nulo não está em .

Passo 7

Vamos examinar o conjunto . Estamos avaliando se é um subespaço vetorial em . As condições a serem verificadas são:
  1. Contém o vetor nulo.
  2. É fechado sob adição de vetores.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 8

Primeiro, checamos se o vetor nulo está em . Substituindo e na equação :
Isso é verdadeiro, então o vetor nulo está em .

Passo 9

Agora, vamos verificar se é fechado sob a adição de vetores. Pegamos dois vetores quaisquer em , digamos e , onde:
A soma desses vetores é . Vamos verificar se :
A menos que , geralmente . Portanto, a soma dos vetores não está necessariamente em .

Passo 10

Por fim, vamos analisar o conjunto . Estamos verificando se este conjunto é um subespaço vetorial em . As três condições a serem verificadas são:
  1. Contém o vetor nulo.
  2. É fechado sob adição de vetores.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 11

Primeiro, verificamos se o vetor nulo está em . Substituindo e na equação :
Isso é verdadeiro, então o vetor nulo está em .

Passo 12

Agora, vamos checar se é fechado sob a adição de vetores. Pegamos dois vetores quaisquer em , digamos e , onde:
A soma desses vetores é . Vamos verificar se:
Então, a soma está em .

Passo 13

Por último, vamos verificar o fechamento sob multiplicação por escalar. Seja um escalar qualquer e , então:
Multiplicando por , obtemos . Verificando a condição:
Portanto, está em .

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço vetorial de .

Exercícios relacionados

Demonstrar que se é unitário, então a distância da origem ao plano é .
Determinar a equação do plano , que contém o ponto e é perpendicular à reta , interseção dos planos e .
Considere o espaço vetorial e o subespaço gerado pelo conjunto
Determine uma base para o subespaço .
Faça uma tabela de valores de para próximo de 0 e estime qual será o valor do limite.