Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial de R^2 :
(a) W=(x, y) ; x+y=0;
(b) W=(x, y) ; x+y=1;
© W=(x, y) ; x^2=y;
(d) W=(x, y) ;-x+3 y=0.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no conjunto . Estamos trabalhando com subespaços vetoriais no espaço . Para verificar se é um subespaço vetorial, precisamos ver se ele satisfaz três condições principais:
  1. Contém o vetor nulo.
  2. É fechado sob adição de vetores.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se o vetor nulo 0 + 0 = 0 está em . Substituindo e na equação :
Isso é verdadeiro, então o vetor nulo está em .

Passo 3

Agora, vamos ver se x1 + y1 = 0 é fechado sob a adição de vetores. Vamos pegar dois vetores quaisquer em x2 + y2 = 0 , digamos (x1 + x2) + (y1 + y2) = (x1 + y1) + (x2 + y2) = 0 + 0 = 0 e , onde:
A soma desses vetores é . Vamos verificar se essa soma também está em :
Como a soma satisfaz a condição , a soma está em .

Passo 4

Por último, vamos checar se x + y = 0 é fechado sob a multiplicação por escalar. Seja c x + c y = c(x + y) = c cdot 0 = 0 um número real qualquer e , então:
Multiplicando esse vetor por , temos . Vamos verificar se:
Isso mostra que , então também pertence a .

Passo 5

Agora, vamos analisar o conjunto . Novamente, estamos verificando se isso é um subespaço vetorial em . As três condições que precisamos checar são:
  1. Contém o vetor nulo.
  2. É fechado sob adição de vetores.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 6

Primeiro, vamos ver se o vetor nulo 0 + 0 = 0 está em . Substituindo e na equação :
Isso não é igual a 1, então o vetor nulo não está em .

Passo 7

Vamos examinar o conjunto . Estamos avaliando se é um subespaço vetorial em . As condições a serem verificadas são:
  1. Contém o vetor nulo.
  2. É fechado sob adição de vetores.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 8

Primeiro, checamos se o vetor nulo 0^2 = 0 está em . Substituindo e na equação :
Isso é verdadeiro, então o vetor nulo está em .

Passo 9

Agora, vamos verificar se y1 = x1^2 é fechado sob a adição de vetores. Pegamos dois vetores quaisquer em y2 = x2^2 , digamos y1 + y2 = x1^2 + x2^2 e (x1 + x2)^2 = x1^2 + 2x1x2 + x2^2 , onde:
A soma desses vetores é . Vamos verificar se :
A menos que , geralmente . Portanto, a soma dos vetores não está necessariamente em .

Passo 10

Por fim, vamos analisar o conjunto . Estamos verificando se este conjunto é um subespaço vetorial em . As três condições a serem verificadas são:
  1. Contém o vetor nulo.
  2. É fechado sob adição de vetores.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 11

Primeiro, verificamos se o vetor nulo -0 + 3 cdot 0 = 0 está em . Substituindo e na equação :
Isso é verdadeiro, então o vetor nulo está em .

Passo 12

Agora, vamos checar se -x1 + 3y1 = 0 é fechado sob a adição de vetores. Pegamos dois vetores quaisquer em -x2 + 3y2 = 0 , digamos -(x1 + x2) + 3(y1 + y2) = (-x1 + 3y1) + (-x2 + 3y2) = 0 + 0 = 0 e , onde:
A soma desses vetores é . Vamos verificar se:
Então, a soma está em .

Passo 13

Por último, vamos verificar o fechamento sob multiplicação por escalar. Seja -x + 3y = 0 um escalar qualquer e -c x + 3 c y = c(-x + 3y) = c cdot 0 = 0 , então:
Multiplicando por , obtemos . Verificando a condição:
Portanto, está em .

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço vetorial de .

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