Considere o espaço vetorial real
munido do produto interno usual.
(a) Mostre que
é um subespaço de
.
(a) Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente mostrar que o conjunto
é um subespaço do espaço vetorial
, que é o conjunto de todas as funções contínuas no intervalo
com o produto interno usual. Isso está relacionado ao tópico de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar se
satisfaz os critérios para ser um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de um espaço vetorial deve satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero: No nosso caso, o vetor zero é a função que vale zero em todo ponto do intervalo.
- É fechado sob a adição: Se você pegar duas funções que estão em
, a soma delas também deve estar em . - É fechado sob a multiplicação por escalar: Se você pegar uma função que está em
e multiplicar por um número real, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para
.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero no espaço
é a função
para todo
no intervalo
. Vamos ver se essa função está em
.
Para
:
Então,
é verdadeiro. Portanto, a função zero está em
.
Passo 4
2. Fechado sob a adição:
Vamos pegar duas funções
e
que estão em
. Isso significa que:
Queremos mostrar que a soma
também está em
, ou seja,
.
Calculando
:
Então, a soma de duas funções em
também está em
.
Passo 5
3. Fechado sob a multiplicação por escalar:
Agora, vamos pegar uma função
em
e um número real
. Queremos mostrar que a função
também está em
, ou seja,
.
Calculando
:
Portanto, a multiplicação de uma função em
por um escalar também está em
.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço de
.