Considere o espaço vetorial real C([-pi, pi]) munido do produto interno usual.
(a) Mostre que U=f in C([-pi, pi]): f(-x)=f(x) é um subespaço de C([-pi, pi]).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente mostrar que o conjunto é um subespaço do espaço vetorial , que é o conjunto de todas as funções contínuas no intervalo com o produto interno usual. Isso está relacionado ao tópico de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar se satisfaz os critérios para ser um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de um espaço vetorial deve satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: No nosso caso, o vetor zero é a função que vale zero em todo ponto do intervalo.
  2. É fechado sob a adição: Se você pegar duas funções que estão em , a soma delas também deve estar em .
  3. É fechado sob a multiplicação por escalar: Se você pegar uma função que está em e multiplicar por um número real, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para .

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
O vetor zero no espaço f(-x) = 0 = f(x) é a função para todo no intervalo . Vamos ver se essa função está em .
Para :
Então, é verdadeiro. Portanto, a função zero está em .

Passo 4

2. Fechado sob a adição:
Vamos pegar duas funções f(-x) = f(x) e g(-x) = g(x) que estão em h(-x) = f(-x) + g(-x) = f(x) + g(x) = h(x) . Isso significa que:
Queremos mostrar que a soma também está em , ou seja, .
Calculando :
Então, a soma de duas funções em também está em .

Passo 5

3. Fechado sob a multiplicação por escalar:
Agora, vamos pegar uma função k(-x) = alpha f(-x) = alpha f(x) = k(x) em e um número real . Queremos mostrar que a função também está em , ou seja, .
Calculando :
Portanto, a multiplicação de uma função em por um escalar também está em .

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço de .

Exercícios relacionados