Considere o espaço vetorial V=Mm times n(R), que é o espaço das matrizes de ordem m times n sobre o corpo R. Mostre que a aplicação entre as matrizes A e B :
lang<= A, Brang<==tr(B^T A)
define um produto interno sobre Mm times n(R). Dadas as matrizes
A=[lll 2 & 1 & 3 0 & 1 & 4 1 & 0 & 2 ] e B=[ccc -1 & 1 & -2 1 & 4 & 3 0 & 0 & 6 ]
calcule lang<= A, Brang<=.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a aplicação definida por ⟨A, B⟩ = tr(BᵀA) é um produto interno no espaço das matrizes . Depois, precisamos calcular ⟨A, B⟩ para duas matrizes específicas A e B.
Aqui, estamos lidando com álgebra linear, mais especificamente com o conceito de produto interno em espaços vetoriais de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um produto interno e como calcular o traço de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno. Em um espaço vetorial, um produto interno é uma função que associa a cada par de vetores um número real, satisfazendo certas propriedades: linearidade, simetria e positividade.
No nosso caso, os “vetores” são matrizes, e queremos mostrar que ⟨A, B⟩ = tr(BᵀA) satisfaz essas propriedades para ser considerado um produto interno.

Passo 3

Vamos verificar as propriedades do produto interno:
  1. Linearidade em relação ao primeiro argumento: Precisamos mostrar que ⟨aA + bC, B⟩ = a⟨A, B⟩ + b⟨C, B⟩ para quaisquer matrizes A, B, C e escalares a, b.
  2. Simetria: Mostrar que ⟨A, B⟩ = ⟨B, A⟩.
  3. Positividade: Mostrar que ⟨A, A⟩ ≥ 0 e que ⟨A, A⟩ = 0 se e somente se A é a matriz zero.

Passo 4

1. Linearidade:
⟨aA + bC, B⟩ = tr(Bᵀ(aA + bC)) = tr(aBᵀA + bBᵀC) = a tr(BᵀA) + b tr(BᵀC) = a⟨A, B⟩ + b⟨C, B⟩.
Assim, a propriedade de linearidade é satisfeita.

Passo 5

2. Simetria:
⟨A, B⟩ = tr(BᵀA). Sabemos que tr(BᵀA) = tr(AᵀB) = ⟨B, A⟩.
Portanto, ⟨A, B⟩ = ⟨B, A⟩, cumprindo a simetria.

Passo 6

3. Positividade:
⟨A, A⟩ = tr(AᵀA). O produto é uma matriz simétrica e positiva semidefinida. O traço de é a soma dos quadrados dos elementos de A, ou seja, , que é sempre maior ou igual a zero. Além disso, ⟨A, A⟩ = 0 se, e somente se todos os elementos de A forem zero.
Isso confirma a positividade necessária.

Passo 7

Como a aplicação ⟨A, B⟩ = tr(BᵀA) satisfaz as propriedades de linearidade, simetria e positividade, concluímos que ela define um produto interno no espaço .
Agora, vamos calcular ⟨A, B⟩ para as matrizes dadas.

Passo 8

Primeiro, vamos encontrar o produto A = 2 & 1 & 3 0 & 1 & 4 1 & 0 & 2 , B = -1 & 1 & -2 1 & 4 & 3 0 & 0 & 6 . Dados:
Bᵀ = -1 & 1 & 0 1 & 4 & 0 -2 & 3 & 6
Calculando BᵀA = -1 & 1 & 0 1 & 4 & 0 -2 & 3 & 6 2 & 1 & 3 0 & 1 & 4 1 & 0 & 2 :
Agora, multiplicamos por A:

Passo 9

Vamos calcular cada elemento de BᵀA = -2 & 0 & 1 2 & 5 & 19 2 & 1 & 18 :
  • Elemento (1,1): (-1)2 + 10 + 0*1 = -2
  • Elemento (1,2): (-1)1 + 11 + 0*0 = -1 + 1 = 0
  • Elemento (1,3): (-1)3 + 14 + 0*2 = -3 + 4 = 1
  • Elemento (2,1): 12 + 40 + 0*1 = 2
  • Elemento (2,2): 11 + 41 + 0*0 = 1 + 4 = 5
  • Elemento (2,3): 13 + 44 + 0*2 = 3 + 16 = 19
  • Elemento (3,1): (-2)2 + 30 + 6*1 = -4 + 0 + 6 = 2
  • Elemento (3,2): (-2)1 + 31 + 6*0 = -2 + 3 = 1
  • Elemento (3,3): (-2)3 + 34 + 6*2 = -6 + 12 + 12 = 18
Então,

Passo 10

Agora, calculamos o traço de tr(BᵀA) = (-2) + 5 + 18 = 21 , que é a soma dos elementos da diagonal principal:

Resposta

lang<= A, B rang<= = 21

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