Considere o espaço vetorial , que é o espaço das matrizes de ordem sobre o corpo . Mostre que a aplicação entre as matrizes e :
define um produto interno sobre . Dadas as matrizes
calcule lang<= A, Brang<=.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a aplicação definida por ⟨A, B⟩ = tr(BᵀA) é um produto interno no espaço das matrizes . Depois, precisamos calcular ⟨A, B⟩ para duas matrizes específicas A e B.
Aqui, estamos lidando com álgebra linear, mais especificamente com o conceito de produto interno em espaços vetoriais de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um produto interno e como calcular o traço de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno. Em um espaço vetorial, um produto interno é uma função que associa a cada par de vetores um número real, satisfazendo certas propriedades: linearidade, simetria e positividade.
No nosso caso, os “vetores” são matrizes, e queremos mostrar que ⟨A, B⟩ = tr(BᵀA) satisfaz essas propriedades para ser considerado um produto interno.
Passo 3
Vamos verificar as propriedades do produto interno:
Linearidade em relação ao primeiro argumento: Precisamos mostrar que ⟨aA + bC, B⟩ = a⟨A, B⟩ + b⟨C, B⟩ para quaisquer matrizes A, B, C e escalares a, b.
Simetria: Mostrar que ⟨A, B⟩ = ⟨B, A⟩.
Positividade: Mostrar que ⟨A, A⟩ ≥ 0 e que ⟨A, A⟩ = 0 se e somente se A é a matriz zero.
⟨A, A⟩ = tr(AᵀA). O produto ᵀ é uma matriz simétrica e positiva semidefinida. O traço de ᵀ é a soma dos quadrados dos elementos de A, ou seja, , que é sempre maior ou igual a zero. Além disso, ⟨A, A⟩ = 0 se, e somente se todos os elementos de A forem zero.
Isso confirma a positividade necessária.
Passo 7
Como a aplicação ⟨A, B⟩ = tr(BᵀA) satisfaz as propriedades de linearidade, simetria e positividade, concluímos que ela define um produto interno no espaço .
Agora, vamos calcular ⟨A, B⟩ para as matrizes dadas.