Seja
uma base ortonormal para
um espaço vetorial com produto interno. Prove que
, para
arbitrário.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um espaço vetorial
com um produto interno, que é como uma “medida de ângulo e comprimento” entre vetores. Além disso, temos uma base ortonormal
para
. Ortonormal significa que cada vetor da base tem comprimento 1 e é perpendicular (ou seja, forma um ângulo de 90 graus) com os outros vetores da base.
O objetivo é provar que, para quaisquer vetores
e
em
, o produto interno entre eles pode ser expresso como a soma dos produtos dos seus produtos internos com cada vetor da base. Para isso, vamos usar conceitos de projeção e a propriedade de bases ortonormais.
Passo 2
Vamos começar lembrando que, em um espaço vetorial com uma base ortonormal, qualquer vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base. Ou seja, podemos expressar
e
da seguinte forma:
Aqui,
é o produto interno entre
e
, que nos dá a “projeção” de
no vetor
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto interno
usando as expressões que encontramos para
e
:
Aqui, estamos aplicando a propriedade do produto interno que permite distribuir sobre as somas.
Passo 4
Expandindo o produto interno, obtemos:
Isso significa que estamos somando todas as combinações possíveis dos produtos internos de
e
com os vetores da base.
Passo 5
Agora, usamos a propriedade da base ortonormal que diz que
se
e
se
. Portanto, a única contribuição na soma ocorre quando
:
Isso simplifica a expressão porque todos os termos onde
desaparecem.
Resposta
Portanto, mostramos que
, conforme queríamos provar.