Seja u1, ldots, un uma base ortonormal para V um espaço vetorial com produto interno. Prove que lang<= v, wrang<==sumi=1^nlang<= v, uirang<=lang<= w, uirang<=, para v, w in V arbitrário.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um espaço vetorial com um produto interno, que é como uma “medida de ângulo e comprimento” entre vetores. Além disso, temos uma base ortonormal para . Ortonormal significa que cada vetor da base tem comprimento 1 e é perpendicular (ou seja, forma um ângulo de 90 graus) com os outros vetores da base.
O objetivo é provar que, para quaisquer vetores e em , o produto interno entre eles pode ser expresso como a soma dos produtos dos seus produtos internos com cada vetor da base. Para isso, vamos usar conceitos de projeção e a propriedade de bases ortonormais.

Passo 2

Vamos começar lembrando que, em um espaço vetorial com uma base ortonormal, qualquer vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base. Ou seja, podemos expressar v = sumi=1^n lang<= v, ui rang<= ui e w = sumj=1^n lang<= w, uj rang<= uj e da seguinte forma:
Aqui, é o produto interno entre e , que nos dá a “projeção” de no vetor .

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto interno lang<= v, w rang<= = lang<= sumi=1^n lang<= v, ui rang<= ui, sumj=1^n lang<= w, uj rang<= uj rang<= usando as expressões que encontramos para e :
Aqui, estamos aplicando a propriedade do produto interno que permite distribuir sobre as somas.

Passo 4

Expandindo o produto interno, obtemos:
lang<= v, w rang<= = sumi=1^n sumj=1^n lang<= v, ui rang<= lang<= w, uj rang<= lang<= ui, uj rang<=
Isso significa que estamos somando todas as combinações possíveis dos produtos internos de e com os vetores da base.

Passo 5

Agora, usamos a propriedade da base ortonormal que diz que lang<= v, w rang<= = sumi=1^n lang<= v, ui rang<= lang<= w, ui rang<= se e se . Portanto, a única contribuição na soma ocorre quando :
Isso simplifica a expressão porque todos os termos onde desaparecem.

Resposta

Portanto, mostramos que , conforme queríamos provar.

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