Seja
o conjunto de polinomios de variável complexa e de grau menor o igual a
. Prove que:
é um espaço vetorial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para provar que
, que é o conjunto de todos os polinômios de variável complexa com grau menor ou igual a
, forma um espaço vetorial. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente na parte que trata sobre espaços vetoriais. Para resolver essa questão, vamos precisar verificar se
satisfaz todas as propriedades necessárias para ser considerado um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de elementos chamados vetores, onde podemos fazer operações de adição e multiplicação por escalar que seguem certas regras, conhecidas como axiomas. Para provar que
é um espaço vetorial, precisamos verificar se ele satisfaz todos esses axiomas.
Passo 3
Vamos começar verificando se
está fechado sob a adição. Isso significa que se pegarmos dois polinômios quaisquer em
e somarmos, o resultado também deve estar em
.
Seja
e
dois polinômios em
, então:
A soma deles é:
Como o grau de ambos os polinômios é no máximo
, a soma também terá grau no máximo
. Portanto,
está em
.
Passo 4
Agora, vamos verificar se
está fechado sob a multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se multiplicarmos um polinômio de
por um escalar (número complexo), o resultado também deve estar em
.
Seja
um polinômio em
e
um escalar complexo. Então:
O grau do polinômio resultante é o mesmo de
, que é no máximo
. Assim,
também está em
.
Passo 5
Além da adição e multiplicação por escalar, precisamos verificar os oito axiomas de um espaço vetorial. Vamos conferir rapidamente cada um deles:
- Associatividade da adição:
– Válido, pois a soma de polinômios é associativa. - Comutatividade da adição:
– Válido, a ordem não altera a soma. - Elemento neutro da adição: Existe um polinômio zero tal que
– Válido. - Elemento inverso da adição: Para todo
, existe tal que – Válido. - Compatibilidade da multiplicação por escalar:
– Válido. - Elemento neutro da multiplicação por escalar:
– Válido. - Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
– Válido. - Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
– Válido.
Como todos os axiomas são satisfeitos, podemos concluir que
é realmente um espaço vetorial.
Resposta
Portanto, provamos que
, o conjunto de polinômios de variável complexa com grau menor ou igual a
, é um espaço vetorial.