Considere o espaço vetorial real
. A matriz de mudança da base
para a base
é dada por
Determine a base
. Determine o elemento
tal que
.
Determine a base
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial
e duas bases diferentes:
e
. A matriz que faz a mudança de base de
para
é dada por:
Precisamos descobrir qual é a base
e encontrar um vetor
que, na base
, tem coordenadas
. Para isso, vamos precisar entender como funciona a mudança de base e como usar essa matriz para encontrar os vetores da base
e o vetor
.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre mudança de base. Quando temos duas bases diferentes para o mesmo espaço vetorial, a mudança de base nos ajuda a converter as coordenadas de um vetor de uma base para outra. A matriz de mudança de base de
para
, que é a que temos, nos mostra como expressar os vetores da base
na base
.
Passo 3
A matriz de mudança de base de
para
que foi dada é:
Cada coluna dessa matriz representa as coordenadas dos vetores da base
na base
. Ou seja:
- A primeira coluna
nos diz como expressar o primeiro vetor de , que é , na base . - A segunda coluna
nos diz como expressar o segundo vetor de , que é , na base .
Passo 4
Vamos traduzir isso matematicamente. Sejam
e
os vetores da base
, então:
Ou seja:
Passo 5
Vamos resolver a segunda equação primeiro porque ela envolve apenas
:
Então, descobrimos que
.
Passo 6
Agora que sabemos
, podemos usar a primeira equação para encontrar
:
Agora, subtraímos
de ambos os lados para isolar
:
Então,
.
Passo 7
Agora que temos os vetores
e
da base
, podemos escrever a base completa:
Passo 8
Para encontrar o vetor
tal que suas coordenadas na base
são
, usamos a relação entre as coordenadas e os vetores da base:
Substituindo os valores de
e
:
Resposta
A base
é
e o vetor
com
é
.