Considere o espaço vetorial real . A matriz de mudança da base para a base é dada por
Determine a base . Determine o elemento tal que .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial e duas bases diferentes: e . A matriz que faz a mudança de base de para é dada por:
Precisamos descobrir qual é a base e encontrar um vetor que, na base , tem coordenadas . Para isso, vamos precisar entender como funciona a mudança de base e como usar essa matriz para encontrar os vetores da base e o vetor .
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre mudança de base. Quando temos duas bases diferentes para o mesmo espaço vetorial, a mudança de base nos ajuda a converter as coordenadas de um vetor de uma base para outra. A matriz de mudança de base de para , que é a que temos, nos mostra como expressar os vetores da base na base .
Passo 3
A matriz de mudança de base de para que foi dada é:
Cada coluna dessa matriz representa as coordenadas dos vetores da base na base . Ou seja:
A primeira coluna nos diz como expressar o primeiro vetor de , que é , na base .
A segunda coluna nos diz como expressar o segundo vetor de , que é , na base .
Passo 4
Vamos traduzir isso matematicamente. Sejam e os vetores da base , então:
Ou seja:
Passo 5
Vamos resolver a segunda equação primeiro porque ela envolve apenas :
Então, descobrimos que .
Passo 6
Agora que sabemos , podemos usar a primeira equação para encontrar :
Agora, subtraímos de ambos os lados para isolar :
Então, .
Passo 7
Agora que temos os vetores e da base , podemos escrever a base completa:
Passo 8
Para encontrar o vetor tal que suas coordenadas na base são , usamos a relação entre as coordenadas e os vetores da base: