Considere o espaço vetorial real R^2. A matriz de mudança da base gamma=(1,1),(-2,2) para a base alpha=v1, v2 é dada por
(rr 1 & 0 4 & -2 )
Determine a base alpha. Determine o elemento u in R^2 tal que [u]alpha=binom12.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial R^2 e duas bases diferentes: gamma = (1,1), (-2,2) e alpha = v1, v2. A matriz que faz a mudança de base de gamma para alpha é dada por:
1 & 0 4 & -2
Precisamos descobrir qual é a base alpha e encontrar um vetor u in R^2 que, na base alpha, tem coordenadas 1 2. Para isso, vamos precisar entender como funciona a mudança de base e como usar essa matriz para encontrar os vetores da base alpha e o vetor u.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre mudança de base. Quando temos duas bases diferentes para o mesmo espaço vetorial, a mudança de base nos ajuda a converter as coordenadas de um vetor de uma base para outra. A matriz de mudança de base de gamma para alpha, que é a que temos, nos mostra como expressar os vetores da base gamma na base alpha.

Passo 3

A matriz de mudança de base de gamma para alpha que foi dada é:
Pgamma to alpha = 1 & 0 4 & -2
Cada coluna dessa matriz representa as coordenadas dos vetores da base gamma na base alpha. Ou seja:
  • A primeira coluna 1 4 nos diz como expressar o primeiro vetor de gamma, que é (1,1), na base alpha.
  • A segunda coluna 0 -2 nos diz como expressar o segundo vetor de gamma, que é (-2,2), na base alpha.

Passo 4

Vamos traduzir isso matematicamente. Sejam v1 e v2 os vetores da base alpha, então:
(1,1) = 1 cdot v1 + 4 cdot v2 (-2,2) = 0 cdot v1 + (-2) cdot v2
Ou seja:
  1. (1,1) = v1 + 4v2
  2. (-2,2) = -2v2

Passo 5

Vamos resolver a segunda equação primeiro porque ela envolve apenas v2:
(-2,2) = -2v2 implies v2 = 1-2(-2,2) = (1,-1)
Então, descobrimos que v2 = (1, -1).

Passo 6

Agora que sabemos v2, podemos usar a primeira equação para encontrar v1:
(1,1) = v1 + 4v2 (1,1) = v1 + 4(1,-1) (1,1) = v1 + (4,-4)
Agora, subtraímos (4,-4) de ambos os lados para isolar v1:
v1 = (1,1) - (4,-4) = (1-4, 1-(-4)) = (-3, 5)
Então, v1 = (-3, 5).

Passo 7

Agora que temos os vetores v1 e v2 da base alpha, podemos escrever a base completa:
alpha = v1, v2 = ,(-3, 5),, (1, -1),

Passo 8

Para encontrar o vetor u in R^2 tal que suas coordenadas na base alpha são 1 2, usamos a relação entre as coordenadas e os vetores da base:
u = 1 cdot v1 + 2 cdot v2
Substituindo os valores de v1 e v2:
u = 1 cdot (-3, 5) + 2 cdot (1, -1) = (-3, 5) + (2, -2) = (-3+2, 5+(-2)) = (-1, 3)

Resposta

A base alpha é ,(-3, 5),, (1, -1), e o vetor u in R^2 com [u]alpha = 1 2 é u = (-1,, 3).

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