Resolva os sistemas lineares abaixo e esboce os gráficos correspondentes às suas equações:
(a) l3 x+2 y=6 2 x+3 y=5
(b) l3 x+2 y=6 6 x+4 y=1
© l3 x+2 y=1 6 x+4 y=2

Passo 1

Vamos resolver o sistema de equações $ \left{ l3x + 2y = 6 2x + 3y = 5\right.$. Aqui, estamos trabalhando com sistemas lineares, que envolvem encontrar valores de x e y que satisfazem ambas as equações simultaneamente. Para resolver, vamos usar o método de eliminação, que ajuda a eliminar uma das variáveis para encontrar a outra.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar a primeira equação por 2 e a segunda por 3 para que os coeficientes de x fiquem iguais:
2 times (3x + 2y) = 2 times 6 Rightarrow 6x + 4y = 12
3 times (2x + 3y) = 3 times 5 Rightarrow 6x + 9y = 15

Passo 3

Agora, subtraímos a primeira equação modificada da segunda para eliminar x:
(6x + 9y) - (6x + 4y) = 15 - 12
5y = 3

Passo 4

Resolvendo para y:
y = 35

Passo 5

Substituímos o valor de y em uma das equações originais para encontrar x. Vamos usar a primeira equação:
3x + 2(35) = 6
3x + 65 = 6

Passo 6

Isolando x:
3x = 6 - 65 = 305 - 65 = 245
x = 245 div 3 = 2415 = 85

Passo 7

Para esboçar os gráficos, representamos as duas equações como retas no plano cartesiano. O ponto de interseção das retas será (85, 35).

Passo 8

Agora, vamos resolver o sistema $ \left{ l3x + 2y = 6 6x + 4y = 1\right.$. Continuamos trabalhando com sistemas lineares e usaremos o método de eliminação novamente para encontrar os valores de x e y.

Passo 9

Observamos que a segunda equação é o dobro da primeira em termos de coeficientes de x e y. Vamos multiplicar a primeira equação por 2:
2 times (3x + 2y) = 2 times 6 Rightarrow 6x + 4y = 12

Passo 10

Agora, subtraímos a segunda equação original da equação modificada:
(6x + 4y) - (6x + 4y) = 12 - 1
0 = 11

Passo 11

Encontramos uma contradição, 0 = 11, o que significa que não há solução para esse sistema. As retas são paralelas e nunca se intersectam.

Passo 12

Por fim, vamos resolver o sistema $ \left{ l3x + 2y = 1 6x + 4y = 2\right.$. Novamente, estamos lidando com sistemas lineares e utilizaremos o método de eliminação para determinar x e y.

Passo 13

Multiplicamos a primeira equação por 2:
2 times (3x + 2y) = 2 times 1 Rightarrow 6x + 4y = 2

Passo 14

Observamos que a equação modificada é igual à segunda equação original:
6x + 4y = 2

Passo 15

Isso indica que ambas as equações são equivalentes, ou seja, representam a mesma reta no plano cartesiano. Portanto, há infinitas soluções para o sistema.

Resposta

O sistema possui infinitas soluções; as duas equações representam a mesma reta no gráfico.

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