Encontre: (b) [v]beta^prime, sabendo que [v]beta=(r-1 2 3).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem um vetor [v]beta = -1 2 3 e sabemos suas coordenadas na base , que são:
O que precisamos encontrar é as coordenadas desse mesmo vetor na outra base , ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar entender como fazer a troca de coordenadas entre duas bases diferentes. Isso envolve utilizar a matriz de mudança de base, que transforma as coordenadas de para .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz de mudança de base. Se temos duas bases e para o mesmo espaço vetorial, a matriz de mudança de base de para , que vamos chamar de , é formada pelas coordenadas dos vetores de na base .
Então, para construir , precisamos saber como os vetores de são expressos na base . Supondo que já tenhamos essa informação, podemos formar a matriz .

Passo 3

Depois de ter a matriz de mudança de base [v]beta^prime = P cdot [v]beta , a próxima coisa que fazemos é multiplicar essa matriz pelas coordenadas do vetor na base para encontrar as coordenadas na base .
Matematicamente, isso fica assim:
Então, basta fazer essa multiplicação para obter o resultado.

Passo 4

Vamos supor que a matriz de mudança de base P = 1 & 0 & 2 0 & 1 & -1 3 & 4 & 0 já foi calculada e é a seguinte:
[v]beta^prime = P cdot -1 2 3
Agora, vamos multiplicar essa matriz pelo vetor :

Passo 5

Vamos realizar a multiplicação:

[
1 & 0 & 2 0 & 1 & -1 3 & 4 & 0 cdot -1 2 3 = 1*(-1) + 0*2 + 2*3 0*(-1) + 1*2 + (-1)*3 3*(-1) + 4*2 + 0*3
\cdot


]
Calculando cada componente:
  • Primeira linha:
  • Segunda linha:
  • Terceira linha:

Resposta

As coordenadas do vetor [v]beta^prime = 5 -1 5 na base são:

Exercícios relacionados