Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem um vetor e sabemos suas coordenadas na base , que são:
O que precisamos encontrar é as coordenadas desse mesmo vetor na outra base , ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar entender como fazer a troca de coordenadas entre duas bases diferentes. Isso envolve utilizar a matriz de mudança de base, que transforma as coordenadas de para .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz de mudança de base. Se temos duas bases e para o mesmo espaço vetorial, a matriz de mudança de base de para , que vamos chamar de , é formada pelas coordenadas dos vetores de na base .
Então, para construir , precisamos saber como os vetores de são expressos na base . Supondo que já tenhamos essa informação, podemos formar a matriz .
Passo 3
Depois de ter a matriz de mudança de base , a próxima coisa que fazemos é multiplicar essa matriz pelas coordenadas do vetor na base para encontrar as coordenadas na base .
Matematicamente, isso fica assim:
Então, basta fazer essa multiplicação para obter o resultado.
Passo 4
Vamos supor que a matriz de mudança de base já foi calculada e é a seguinte: