Considere o espaço vetorial real R^2. A matriz de mudança da base ordenada gamma=(1,1),(-2,2) para a base ordenada alpha=v1, v2 é dada por
(rr 1 & 0 4 & -2 )
Determine a base ordenada alpha.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está trabalhando com espaço vetorial real R^2 e mudança de base. O que precisamos aqui é descobrir qual é a base ordenada alpha sabendo a matriz de mudança da base gamma para a base alpha. Vamos precisar entender como funciona a matriz de mudança de base e como ela relaciona as duas bases.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma base ordenada e a matriz de mudança de base. Em R^2, uma base ordenada é um conjunto de dois vetores que são linearmente independentes, ou seja, não estão na mesma direção. A base gamma que a gente tem é (1,1), (-2,2).
A matriz de mudança de base nos ajuda a converter coordenadas de um sistema de base para outro. No caso, a matriz que foi dada é a de mudança da base gamma para a base alpha, ou seja, ela mostra como escrever os vetores da base gamma usando a base alpha.

Passo 3

Agora, vamos chamar a base alpha de v1, v2. A matriz de mudança de base que a gente tem é:
1 & 0 4 & -2
Essa matriz nos diz que:
(1,1) = 1 cdot v1 + 4 cdot v2 (-2,2) = 0 cdot v1 + (-2) cdot v2
Ou seja, estamos expressando cada vetor da base gamma como uma combinação linear dos vetores da base alpha.

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações para encontrar v1 e v2. A segunda equação é mais simples:
(-2,2) = -2 cdot v2
Isso significa que:
v2 = (-2,2)-2 = (1,-1)
Agora que temos v2, usamos a primeira equação para encontrar v1:
(1,1) = 1 cdot v1 + 4 cdot (1,-1)
Simplificando:
(1,1) = v1 + (4, -4)
Então:
v1 = (1,1) - (4,-4) = (1-4, 1-(-4)) = (-3,5)

Resposta

A base ordenada alpha é , (-3, 5), (1, -1) , .

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