Considere o espaço vetorial real
. A matriz de mudança da base ordenada
para a base ordenada
é dada por
Determine a base ordenada
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está trabalhando com espaço vetorial real
e mudança de base. O que precisamos aqui é descobrir qual é a base ordenada
sabendo a matriz de mudança da base
para a base
. Vamos precisar entender como funciona a matriz de mudança de base e como ela relaciona as duas bases.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma base ordenada e a matriz de mudança de base. Em
, uma base ordenada é um conjunto de dois vetores que são linearmente independentes, ou seja, não estão na mesma direção. A base
que a gente tem é
.
A matriz de mudança de base nos ajuda a converter coordenadas de um sistema de base para outro. No caso, a matriz que foi dada é a de mudança da base
para a base
, ou seja, ela mostra como escrever os vetores da base
usando a base
.
Passo 3
Agora, vamos chamar a base
de
. A matriz de mudança de base que a gente tem é:
Essa matriz nos diz que:
Ou seja, estamos expressando cada vetor da base
como uma combinação linear dos vetores da base
.
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações para encontrar
e
. A segunda equação é mais simples:
Isso significa que:
Agora que temos
, usamos a primeira equação para encontrar
:
Simplificando:
Então:
Resposta
A base ordenada
é
.