Como obter uma base ortonormal a partir de uma base qualquer de um subespaço vetorial?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para gente transformar uma base qualquer de um subespaço vetorial em uma base ortonormal. Isso está dentro da matéria de álgebra linear, mais especificamente trabalhando com bases e normalização. Para resolver isso, a gente vai precisar usar o processo de Gram-Schmidt, que é uma técnica bem bacana para fazer exatamente isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base ortonormal. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que combinados dão todo o espaço do subespaço. Quando a gente fala que essa base é ortonormal, significa que todos os vetores têm magnitude 1 (normalizados) e são perpendiculares entre si (ortogonais). Isso facilita muitos cálculos, como encontrar coordenadas ou projeções.

Passo 3

Agora, vamos falar um pouco sobre o que vamos precisar: o produto interno (também conhecido como produto escalar). O produto interno entre dois vetores u cdot v = sumi=1^n ui vi e é dado por:
Esse produto nos ajuda a medir ângulos e comprimentos entre vetores, que é essencial para o processo de ortogonalização.

Passo 4

O próximo passo é começar o Processo de Gram-Schmidt. Suponha que nossa base inicial seja . A ideia é transformar esses vetores em uma nova base que seja ortonormal.

Passo 5

Começamos pegando o primeiro vetor u1 = v1|v1| e normalizando ele para obter |v1| = raizv1 cdot v1 :
Aqui, é o comprimento do vetor , calculado por:

Passo 6

Agora, vamos para o segundo vetor w2 = v2 - (v2 cdot u1) u1 . A gente precisa torná-lo ortogonal a u2 = w2|w2| . Para isso, subtraímos a projeção de em :
Depois, normalizamos para obter :

Passo 7

Repetimos esse processo para os próximos vetores. Para o terceiro vetor w3 = v3 - (v3 cdot u1) u1 - (v3 cdot u2) u2 , subtraímos as projeções em u3 = w3|w3| e :
E então normalizamos:
Esse processo continua até transformar todos os vetores da base inicial.

Passo 8

Depois de aplicar o processo de Gram-Schmidt a todos os vetores da base original, a gente acaba com uma nova base ui cdot uj = 1 & se i = j 0 & se i neq j que é ortonormal. Isso significa que:
Assim, todos os vetores têm comprimento 1 e são perpendiculares entre si.

Resposta

Seguindo o processo de Gram-Schmidt, a gente transforma qualquer base do subespaço vetorial em uma base ortonormal, com vetores de comprimento 1 e mutuamente perpendiculares.

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