Como obter uma base ortonormal a partir de uma base qualquer de um subespaço vetorial?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para gente transformar uma base qualquer de um subespaço vetorial em uma base ortonormal. Isso está dentro da matéria de álgebra linear, mais especificamente trabalhando com bases e normalização. Para resolver isso, a gente vai precisar usar o processo de Gram-Schmidt, que é uma técnica bem bacana para fazer exatamente isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base ortonormal. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que combinados dão todo o espaço do subespaço. Quando a gente fala que essa base é ortonormal, significa que todos os vetores têm magnitude 1 (normalizados) e são perpendiculares entre si (ortogonais). Isso facilita muitos cálculos, como encontrar coordenadas ou projeções.
Passo 3
Agora, vamos falar um pouco sobre o que vamos precisar: o produto interno (também conhecido como produto escalar). O produto interno entre dois vetores
e
é dado por:
Esse produto nos ajuda a medir ângulos e comprimentos entre vetores, que é essencial para o processo de ortogonalização.
Passo 4
O próximo passo é começar o Processo de Gram-Schmidt. Suponha que nossa base inicial seja
. A ideia é transformar esses vetores em uma nova base
que seja ortonormal.
Passo 5
Começamos pegando o primeiro vetor
e normalizando ele para obter
:
Aqui,
é o comprimento do vetor
, calculado por:
Passo 6
Agora, vamos para o segundo vetor
. A gente precisa torná-lo ortogonal a
. Para isso, subtraímos a projeção de
em
:
Depois, normalizamos
para obter
:
Passo 7
Repetimos esse processo para os próximos vetores. Para o terceiro vetor
, subtraímos as projeções em
e
:
E então normalizamos:
Esse processo continua até transformar todos os vetores da base inicial.
Passo 8
Depois de aplicar o processo de Gram-Schmidt a todos os vetores da base original, a gente acaba com uma nova base
que é ortonormal. Isso significa que:
Assim, todos os vetores têm comprimento 1 e são perpendiculares entre si.
Resposta
Seguindo o processo de Gram-Schmidt, a gente transforma qualquer base do subespaço vetorial em uma base ortonormal, com vetores de comprimento 1 e mutuamente perpendiculares.