Considere o espaço vetorial real
com as operações:
Adição:
;
Multiplicação por escalar:
.
Exiba o elemento neutro da operação adição e o simétrico aditivo do elemento
.
Adição:
Multiplicação por escalar:
Exiba o elemento neutro da operação adição e o simétrico aditivo do elemento
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com um espaço vetorial específico, onde a “adição” e a “multiplicação por escalar” são definidas de maneiras diferentes do usual. Precisamos encontrar o elemento neutro da operação de adição e o simétrico aditivo de qualquer elemento
nesse espaço. Para resolver isso, vamos usar as definições básicas de espaço vetorial e entender como essas operações estão definidas aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um elemento neutro na operação de adição. Em um espaço vetorial, o elemento neutro
deve satisfazer a condição:
para todo
no espaço vetorial. No nosso caso, a operação de adição é definida como
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o elemento neutro
. Substituindo na definição:
Para que isso seja verdade para todo
, o valor de
precisa ser tal que multiplicando qualquer
por
resulte em
. A única possibilidade é:
Porque:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o simétrico aditivo de um elemento
. O simétrico aditivo, que vamos chamar de
, deve satisfazer:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Para encontrar
, resolvemos a equação:
Assim, o simétrico aditivo de
é
.
Resposta
O elemento neutro da operação adição é
e o simétrico aditivo de qualquer elemento
é
.
Exercícios relacionados
Calcular a matriz X para cada um dos casos abaixo:
Considere o espaço vetorial real
com as operações:
Adição:
Multiplicação por escalar: .
Verifique se é um subespaço vetorial de V.
Adição:
Multiplicação por escalar:
Verifique se
Determine as coordenadas dos vértices de um quadrado de lado
, centro na origem e lados paralelos aos eixos coordenados.
Dois vértices de um triângulo equilátero são
e
. Determine as coordenadas do terceiro vértice.