Considere o espaço vetorial real com as operações:
Adição: ;
Multiplicação por escalar: .
Exiba o elemento neutro da operação adição e o simétrico aditivo do elemento .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com um espaço vetorial específico, onde a “adição” e a “multiplicação por escalar” são definidas de maneiras diferentes do usual. Precisamos encontrar o elemento neutro da operação de adição e o simétrico aditivo de qualquer elemento nesse espaço. Para resolver isso, vamos usar as definições básicas de espaço vetorial e entender como essas operações estão definidas aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um elemento neutro na operação de adição. Em um espaço vetorial, o elemento neutro deve satisfazer a condição:
para todo no espaço vetorial. No nosso caso, a operação de adição é definida como .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o elemento neutro . Substituindo na definição:
Para que isso seja verdade para todo , o valor de precisa ser tal que multiplicando qualquer por resulte em . A única possibilidade é:
Porque:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o simétrico aditivo de um elemento . O simétrico aditivo, que vamos chamar de , deve satisfazer:
Sabemos que , então:

Passo 5

Para encontrar , resolvemos a equação:
Assim, o simétrico aditivo de é .

Resposta

O elemento neutro da operação adição é e o simétrico aditivo de qualquer elemento é .

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Calcular a matriz X para cada um dos casos abaixo:
Considere o espaço vetorial real com as operações:
Adição:
Multiplicação por escalar: .
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