Considere o espaço vetorial real V=x in R ; x>0 com as operações:
Adição: x oplus y=x y, forall x, y in V;
Multiplicação por escalar: alpha odot x=x^alpha, forall alpha in R, forall x, y in V.
Exiba o elemento neutro da operação adição e o simétrico aditivo do elemento x in V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com um espaço vetorial específico, onde a “adição” e a “multiplicação por escalar” são definidas de maneiras diferentes do usual. Precisamos encontrar o elemento neutro da operação de adição e o simétrico aditivo de qualquer elemento nesse espaço. Para resolver isso, vamos usar as definições básicas de espaço vetorial e entender como essas operações estão definidas aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um elemento neutro na operação de adição. Em um espaço vetorial, o elemento neutro x oplus e = x deve satisfazer a condição:
para todo no espaço vetorial. No nosso caso, a operação de adição é definida como .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o elemento neutro x oplus e = x cdot e = x . Substituindo na definição:
e = 1
Para que isso seja verdade para todo x cdot 1 = x , o valor de precisa ser tal que multiplicando qualquer por resulte em . A única possibilidade é:
Porque:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o simétrico aditivo de um elemento x oplus y = e . O simétrico aditivo, que vamos chamar de x cdot y = 1 , deve satisfazer:
Sabemos que , então:

Passo 5

Para encontrar y = 1x , resolvemos a equação:
Assim, o simétrico aditivo de é .

Resposta

O elemento neutro da operação adição é e o simétrico aditivo de qualquer elemento é .

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