Dois vértices de um triângulo equilátero são e . Determine as coordenadas do terceiro vértice.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá dois vértices de um triângulo equilátero: e . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas do terceiro vértice desse triângulo. Para isso, vamos usar conceitos de geometria sobre triângulos equiláteros e coordenadas no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a distância entre os dois vértices que já temos. A distância entre dois pontos e no plano é dada pela fórmula:
Aplicando os valores dos pontos e :
Então, o lado do triângulo mede unidades.

Passo 3

Em um triângulo equilátero, todos os lados são iguais e os ângulos internos são de . A altura desse triângulo pode ser calculada usando a fórmula:
Onde é o lado do triângulo. Substituindo :

Passo 4

Agora, vamos encontrar o ponto médio da base formada pelos vértices e . A fórmula do ponto médio entre dois pontos e é:
Aplicando:
Então, o ponto médio é .

Passo 5

Com o ponto médio e a altura , podemos encontrar o terceiro vértice adicionando ou subtraindo a altura na direção perpendicular à base. Como a base está alinhada horizontalmente (ambos os vértices têm ), a direção perpendicular será vertical.
Portanto, as coordenadas do terceiro vértice serão:

Resposta

As coordenadas do terceiro vértice são ou .

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Considere o espaço vetorial real com as operações:
Adição: ;
Multiplicação por escalar: .
Exiba o elemento neutro da operação adição e o simétrico aditivo do elemento .
Calcular a matriz X para cada um dos casos abaixo:
Determine o ponto equidistante de: