Dois vértices de um triângulo equilátero são (-1,1) e (3,1). Determine as coordenadas do terceiro vértice.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá dois vértices de um triângulo equilátero: (-1,1) e (3,1). Nosso objetivo é encontrar as coordenadas do terceiro vértice desse triângulo. Para isso, vamos usar conceitos de geometria sobre triângulos equiláteros e coordenadas no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a distância entre os dois vértices que já temos. A distância entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) no plano é dada pela fórmula:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Aplicando os valores dos pontos (-1,1) e (3,1):
d = raiz(3 - (-1))^2 + (1 - 1)^2 = raiz4^2 + 0^2 = raiz16 = 4
Então, o lado do triângulo mede 4 unidades.

Passo 3

Em um triângulo equilátero, todos os lados são iguais e os ângulos internos são de 60^circ. A altura desse triângulo pode ser calculada usando a fórmula:
h = raiz32 times a
Onde a é o lado do triângulo. Substituindo a = 4:
h = raiz32 times 4 = 2raiz3

Passo 4

Agora, vamos encontrar o ponto médio da base formada pelos vértices (-1,1) e (3,1). A fórmula do ponto médio entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é:
( x1 + x22, y1 + y22 )
Aplicando:
( -1 + 32, 1 + 12 ) = (1, 1)
Então, o ponto médio é (1,1).

Passo 5

Com o ponto médio (1,1) e a altura 2raiz3, podemos encontrar o terceiro vértice adicionando ou subtraindo a altura na direção perpendicular à base. Como a base está alinhada horizontalmente (ambos os vértices têm y=1), a direção perpendicular será vertical.
Portanto, as coordenadas do terceiro vértice serão:
(1, 1 + 2raiz3) ou (1, 1 - 2raiz3)

Resposta

As coordenadas do terceiro vértice são (1, 1 + 2raiz3) ou (1, 1 - 2raiz3).

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