Use vetores para decidir se o triângulo com vértices em P(2,-4,-2), Q(3,-1,-4) e R(7,-3,-5) é retângulo.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um triângulo com vértices nos pontos , e . O objetivo é usar vetores para descobrir se esse triângulo é retângulo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores, como calcular vetores de lados do triângulo e verificar se dois desses vetores são perpendiculares (ou seja, se o ângulo entre eles é de 90 graus).

Passo 2

Vamos começar encontrando os vetores que representam os lados do triângulo. Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos:
  • Vetor
  • Vetor
  • Vetor

Passo 3

Agora, para verificar se o triângulo é retângulo, precisamos ver se algum par desses vetores é perpendicular. Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero. O produto escalar de dois vetores a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3 e é dado por:

Passo 4

Vamos calcular os produtos escalares entre os pares de vetores:

Passo 5

Observamos que o produto escalar entre PQ cdot QR = 0 e é zero:
Isso significa que os vetores e são perpendiculares. Portanto, o ângulo formado por esses dois vetores no vértice é de 90 graus.

Resposta

Sim, o triângulo com vértices em , e é retângulo.

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