Sejam
,
e
bases ordenadas de
.
a) Encontre as matrizes de mudança de base
e
.
a) Encontre as matrizes de mudança de base
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem diferentes bases em
e precisa encontrar as matrizes de mudança de base entre elas. O conteúdo aqui é sobre mudança de base em álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar vetores de uma base em termos de outra e usar matrizes para fazer essa conversão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Em
, uma base é um conjunto de dois vetores que são linearmente independentes. As bases que temos são:
-
– a base canônica. -
-
-
Passo 3
A matriz de mudança de base
transforma coordenadas de
para
. Para encontrá-la, vamos expressar os vetores de
na base
. Como
é a base padrão, os vetores já estão expressos nela:
Passo 4
Agora, queremos a matriz
, que é a inversa de
. Para calcular a inversa de uma matriz 2x2:
Aplicando isso:
Passo 5
Vamos para
. Primeiro, expressamos os vetores de
na base
:
Então,
Passo 6
Por último, encontramos
. Os vetores de
na base
são:
Portanto,
Resposta
As matrizes de mudança de base são: