Sejam beta=(1,0),(0,1), beta1=(-1,1),(1,1), beta2=(raiz3, 1),(raiz3,-1) e beta3=(2,0),(0,2) bases ordenadas de R^2.
a) Encontre as matrizes de mudança de base [I]beta^beta1,[I]beta1^beta,[I]beta2^beta e [I]beta3^beta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem diferentes bases em e precisa encontrar as matrizes de mudança de base entre elas. O conteúdo aqui é sobre mudança de base em álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar vetores de uma base em termos de outra e usar matrizes para fazer essa conversão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Em , uma base é um conjunto de dois vetores que são linearmente independentes. As bases que temos são:
  • – a base canônica.

Passo 3

A matriz de mudança de base [I]beta^beta1 = -1 & 1 1 & 1 transforma coordenadas de para . Para encontrá-la, vamos expressar os vetores de na base . Como é a base padrão, os vetores já estão expressos nela:

Passo 4

Agora, queremos a matriz A = a & b c & d Rightarrow A^-1 = 1ad - bc d & -b -c & a , que é a inversa de Determinante = (-1)(1) - (1)(1) = -1 - 1 = -2 . Para calcular a inversa de uma matriz 2x2:
[I]beta1^beta = 1-2 1 & -1 -1 & -1 = -0.5 & 0.5 0.5 & 0.5
Aplicando isso:

Passo 5

Vamos para beta2 = (raiz3, 1), (raiz3, -1) . Primeiro, expressamos os vetores de [I]beta2^beta = raiz3 & raiz3 1 & -1 na base :
Então,

Passo 6

Por último, encontramos beta3 = (2,0), (0,2) . Os vetores de [I]beta3^beta = 2 & 0 0 & 2 na base são:
Portanto,

Resposta

As matrizes de mudança de base são:
[I]beta^beta1 = -1 & 1 1 & 1
[I]beta1^beta = -0.5 & 0.5 0.5 & 0.5
[I]beta2^beta = raiz3 & raiz3 1 & -1
[I]beta3^beta = 2 & 0 0 & 2

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