Considere o espaço vetorial sobre
. Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de
.
(i)
e
.
(i)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos precisar entender primeiro o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço se ele satisfaz três condições básicas: contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar. Vamos verificar cada uma dessas condições passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver as equações que definem o conjunto
. Temos:
Vamos substituir a primeira equação na segunda para eliminar
:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Então, todo vetor em
pode ser escrito em termos de
:
Isso significa que
é o conjunto de todos os múltiplos escalares do vetor
.
Passo 3
Agora vamos verificar as tr��s condições para ser um subespaço vetorial:
- Contém o vetor zero: Substituímos
na expressão de :
Então, o vetor zero está em
.
- Fechado sob adição: Se temos dois vetores em
, digamos e , sua soma será:
Como a soma também está na forma
, está fechado sob adição.
- Fechado sob multiplicação por escalar: Se temos um vetor
em e um escalar , então:
Novamente, o resultado está na forma
, então está fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço vetorial de
.