Considere o espaço vetorial sobre . Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de .
(i) e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de . Para isso, vamos precisar entender primeiro o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço se ele satisfaz três condições básicas: contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar. Vamos verificar cada uma dessas condições passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver as equações que definem o conjunto . Temos:
Vamos substituir a primeira equação na segunda para eliminar :
Agora, substituímos na primeira equação:
Então, todo vetor em pode ser escrito em termos de :
Isso significa que é o conjunto de todos os múltiplos escalares do vetor .
Passo 3
Agora vamos verificar as tr��s condições para ser um subespaço vetorial:
Contém o vetor zero: Substituímos na expressão de :
Então, o vetor zero está em .
Fechado sob adição: Se temos dois vetores em , digamos e , sua soma será:
Como a soma também está na forma , está fechado sob adição.
Fechado sob multiplicação por escalar: Se temos um vetor em e um escalar , então:
Novamente, o resultado está na forma , então está fechado sob multiplicação por escalar.