Considere o espaço vetorial sobre R, V=R^3. Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de V.
(i) S=(x, y, z) ; x=2 y+z e y=x+3 z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de . Para isso, vamos precisar entender primeiro o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço se ele satisfaz três condições básicas: contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar. Vamos verificar cada uma dessas condições passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver as equações que definem o conjunto x = 2y + z y = x + 3z . Temos:
y = (2y + z) + 3z y = 2y + 4z y - 2y = 4z - y = 4z y = -4z
Vamos substituir a primeira equação na segunda para eliminar x = 2(-4z) + z x = -8z + z x = -7z :
(x, y, z) = (-7z, -4z, z) = z(-7, -4, 1)
Agora, substituímos na primeira equação:
Então, todo vetor em pode ser escrito em termos de :
Isso significa que é o conjunto de todos os múltiplos escalares do vetor .

Passo 3

Agora vamos verificar as tr��s condições para ser um subespaço vetorial:
  1. Contém o vetor zero: Substituímos (0, 0, 0) = 0 cdot (-7, -4, 1) na expressão de u + v = z1(-7, -4, 1) + z2(-7, -4, 1) = (z1 + z2)(-7, -4, 1) :
k cdot u = k cdot z(-7, -4, 1) = (kz)(-7, -4, 1)
Então, o vetor zero está em .
  1. Fechado sob adição: Se temos dois vetores em , digamos e , sua soma será:
Como a soma também está na forma , está fechado sob adição.
  1. Fechado sob multiplicação por escalar: Se temos um vetor em e um escalar , então:
Novamente, o resultado está na forma , então está fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço vetorial de .

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