Mostre o conjunto abaixo é uma base de :

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente mostre que um certo conjunto de matrizes é uma base para o espaço das matrizes 2x2 com números reais, que chamamos de . Isso significa que precisamos provar que essas matrizes são capazes de “gerar” qualquer matriz 2x2 e que elas são todas diferentes entre si (ou seja, são linearmente independentes). Para resolver isso, vamos precisar entender sobre bases, espaço vetorial e combinação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores (ou matrizes, no nosso caso) que são linearmente independentes e que conseguem gerar todo o espaço. No caso de , que é o espaço de todas as matrizes 2x2 com entradas reais, a dimensão é 4. Isso significa que precisamos de 4 matrizes que sejam linearmente independentes para formar uma base.

Passo 3

Agora, vamos verificar se as quatro matrizes que nos foram dadas são linearmente independentes. Para isso, vamos considerar uma combinação linear dessas matrizes igual a zero e ver se a única solução é que todos os coeficientes dessa combinação sejam zero. Ou seja, queremos resolver:

Passo 4

Vamos somar as matrizes na equação acima:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 5

Resolvendo o sistema:
  1. De , temos .
  2. De , temos .
  3. De , já sabemos que .
  4. Substituindo , e na quarta equação: , então .

Passo 6

Como a única solução para o sistema é , isso significa que as matrizes são linearmente independentes.

Passo 7

Como temos 4 matrizes linearmente independentes e o espaço tem dimensão 4, concluímos que esse conjunto de matrizes é uma base para .

Resposta

Portanto, o conjunto fornecido é uma base de .

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(i) e .
Considere o subespaço de gerado pelos vetores . É verdade que