Sejam A=[rr1 & -1 2 & 2 1 & 0] e [rrr1 & -1 & 1 2 & 0 & 1 3 & 0 & 1]. Demonstre que não existe uma matriz C, 2 times 3, tal que B=A C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas matrizes, de tamanho e de tamanho . A tarefa é mostrar que não existe uma matriz de tamanho tal que . Para resolver isso, vamos usar conceitos de multiplicação de matrizes e condições para que a equação tenha solução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como funciona a multiplicação de matrizes. Se temos de tamanho e de tamanho , o produto resultará em uma matriz de tamanho , que é o mesmo tamanho de . Isso é bom, mas precisamos ver se conseguimos exatamente obter com essa multiplicação.

Passo 3

Vamos chamar a matriz C = c11 & c12 & c13 c21 & c22 & c23 de:
A cdot C = 1 & -1 2 & 2 1 & 0 cdot c11 & c12 & c13 c21 & c22 & c23 = 1 cdot c11 + (-1) cdot c21 & 1 cdot c12 + (-1) cdot c22 & 1 cdot c13 + (-1) cdot c23 2 cdot c11 + 2 cdot c21 & 2 cdot c12 + 2 cdot c22 & 2 cdot c13 + 2 cdot c23 1 cdot c11 + 0 cdot c21 & 1 cdot c12 + 0 cdot c22 & 1 cdot c13 + 0 cdot c23
Agora, vamos multiplicar A cdot C = c11 - c21 & c12 - c22 & c13 - c23 2c11 + 2c21 & 2c12 + 2c22 & 2c13 + 2c23 c11 & c12 & c13 por :

[
A \cdot C =
\cdot


]
Ou seja:

Passo 4

Queremos que c11 - c21 = 1 c12 - c22 = -1 c13 - c23 = 1 2c11 + 2c21 = 2 2c12 + 2c22 = 0 2c13 + 2c23 = 1 c11 = 3 c12 = 0 c13 = 1 , então vamos igualar as entradas correspondentes das matrizes:

Passo 5

Agora, vamos resolver essas equações passo a passo. A última linha nos dá diretamente:
c11 = 3, c12 = 0, c13 = 1
Vamos usar esses valores nas equações anteriores.

Passo 6

Substituindo 2(3) + 2c21 = 2 implies 6 + 2c21 = 2 implies 2c21 = -4 implies c21 = -2 na quarta equação:
2(0) + 2c22 = 0 implies 0 + 2c22 = 0 implies c22 = 0
Substituindo 2(1) + 2c23 = 1 implies 2 + 2c23 = 1 implies 2c23 = -1 implies c23 = -12 na quinta equação:
Substituindo na sexta equação:

Passo 7

Agora, temos os valores de c11 - c21 = 3 - (-2) = 5 neq 1 , e . Vamos verificar se eles satisfazem as primeiras três equações.
Para a primeira equação:
Já percebemos que , o que é uma contradição. Isso significa que não conseguimos encontrar valores de , e que satisfaçam todas as equações simultaneamente.

Resposta

Não existe uma matriz de tamanho tal que , pois as equações resultantes da multiplicação são contraditórias e não possuem solução consistente.

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