Sejam e . Demonstre que não existe uma matriz , tal que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas matrizes, de tamanho e de tamanho . A tarefa é mostrar que não existe uma matriz de tamanho tal que . Para resolver isso, vamos usar conceitos de multiplicação de matrizes e condições para que a equação tenha solução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como funciona a multiplicação de matrizes. Se temos de tamanho e de tamanho , o produto resultará em uma matriz de tamanho , que é o mesmo tamanho de . Isso é bom, mas precisamos ver se conseguimos exatamente obter com essa multiplicação.

Passo 3

Vamos chamar a matriz de:
Agora, vamos multiplicar por :

[
A \cdot C =
\cdot


]
Ou seja:

Passo 4

Queremos que , então vamos igualar as entradas correspondentes das matrizes:

Passo 5

Agora, vamos resolver essas equações passo a passo. A última linha nos dá diretamente:
Vamos usar esses valores nas equações anteriores.

Passo 6

Substituindo na quarta equação:
Substituindo na quinta equação:
Substituindo na sexta equação:

Passo 7

Agora, temos os valores de , e . Vamos verificar se eles satisfazem as primeiras três equações.
Para a primeira equação:
Já percebemos que , o que é uma contradição. Isso significa que não conseguimos encontrar valores de , e que satisfaçam todas as equações simultaneamente.

Resposta

Não existe uma matriz de tamanho tal que , pois as equações resultantes da multiplicação são contraditórias e não possuem solução consistente.

Exercícios relacionados

Verifique se a matriz pode ser escrita como combinação linear das matrizes .
Dadas as bases de e , responda:
(a) Ache as matrizes mudança de base: e .
(b) Dado o vetor encontre usando as matrizes do item (a).
© Se um vetor é tal que encontre e .
Mostre o conjunto abaixo é uma base de :
Considere o espaço vetorial sobre . Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de .
(i) e .