Sejam e . Demonstre que não existe uma matriz , tal que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas matrizes, de tamanho e de tamanho . A tarefa é mostrar que não existe uma matriz de tamanho tal que . Para resolver isso, vamos usar conceitos de multiplicação de matrizes e condições para que a equação tenha solução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como funciona a multiplicação de matrizes. Se temos de tamanho e de tamanho , o produto resultará em uma matriz de tamanho , que é o mesmo tamanho de . Isso é bom, mas precisamos ver se conseguimos exatamente obter com essa multiplicação.
Passo 3
Vamos chamar a matriz de:
Agora, vamos multiplicar por :
[
A \cdot C =
\cdot
]
Ou seja:
Passo 4
Queremos que , então vamos igualar as entradas correspondentes das matrizes:
Passo 5
Agora, vamos resolver essas equações passo a passo. A última linha nos dá diretamente:
Vamos usar esses valores nas equações anteriores.
Passo 6
Substituindo na quarta equação:
Substituindo na quinta equação:
Substituindo na sexta equação:
Passo 7
Agora, temos os valores de , e . Vamos verificar se eles satisfazem as primeiras três equações.
Para a primeira equação:
Já percebemos que , o que é uma contradição. Isso significa que não conseguimos encontrar valores de , e que satisfaçam todas as equações simultaneamente.
Resposta
Não existe uma matriz de tamanho tal que , pois as equações resultantes da multiplicação são contraditórias e não possuem solução consistente.