Determine para quais valores de o conjunto não é uma base de .

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para descobrir para quais valores de o conjunto de vetores não forma uma base de . Isso está ligado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre independência linear e bases de espaços vetoriais. Para resolver, vamos verificar quando esses vetores são linearmente dependentes, já que isso impede que eles formem uma base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um conjunto de vetores forma uma base de se eles forem linearmente independentes e gerarem todo o espaço. No caso, nosso objetivo é encontrar quando não são uma base, ou seja, quando são linearmente dependentes.

Passo 3

Para verificar a independência linear dos vetores, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante. Se o determinante for zero, os vetores são linearmente dependentes.
Vamos montar a matriz:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz é calculado da seguinte forma:
Aplicando isso na nossa matriz:

Passo 5

Vamos simplificar cada parte:
Somando tudo:

Passo 6

Para que os vetores sejam linearmente dependentes, o determinante deve ser igual a zero:
Vamos resolver para :

Resposta

Para , o conjunto não é uma base de .

Exercícios relacionados

Considere o subespaço de gerado pelos vetores . É verdade que
Considere o espaço vetorial sobre . Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de .
(i) e .
Sejam e .
(a) Mostre que e são subespaços de .
No espaço vetorial considere os seguintes subespaços:
Encontre bases para: e (obs: é a derivada de ).