Determine para quais valores de k in R o conjunto (3,1,4),(2,-3,5),(5,9, k) não é uma base de R^3.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para descobrir para quais valores de o conjunto de vetores não forma uma base de . Isso está ligado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre independência linear e bases de espaços vetoriais. Para resolver, vamos verificar quando esses vetores são linearmente dependentes, já que isso impede que eles formem uma base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um conjunto de vetores forma uma base de se eles forem linearmente independentes e gerarem todo o espaço. No caso, nosso objetivo é encontrar quando não são uma base, ou seja, quando são linearmente dependentes.

Passo 3

Para verificar a independência linear dos vetores, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante. Se o determinante for zero, os vetores são linearmente dependentes.
Vamos montar a matriz:
A = 3 & 2 & 5 1 & -3 & 9 4 & 5 & k

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) é calculado da seguinte forma:
det(A) = 3 cdot (-3 cdot k - 9 cdot 5) - 2 cdot (1 cdot k - 9 cdot 4) + 5 cdot (1 cdot 5 - (-3) cdot 4)
Aplicando isso na nossa matriz:

Passo 5

Vamos simplificar cada parte:
  1. -9k - 135 - 2k + 72 + 85 = -11k - 135 + 72 + 85 = -11k + 22
Somando tudo:

Passo 6

Para que os vetores sejam linearmente dependentes, o determinante deve ser igual a zero:
-11k + 22 = 0
Vamos resolver para -11k = -22 k = 2 :

Resposta

Para , o conjunto não é uma base de .

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