Considere o subespaço de gerado pelos vetores . É verdade que

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três vetores no espaço tridimensional, :

A questão quer saber se esses vetores geram todo o espaço . Para resolver isso, vamos usar conceitos de linearidade e determinantes.

Passo 2

Para verificar se os vetores geram , precisamos ver se eles são linearmente independentes. Isso significa que nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros. Uma maneira de verificar isso é calculando o determinante da matriz formada por esses vetores.

Passo 3

Vamos formar a matriz com os vetores como colunas:
O determinante dessa matriz nos dirá se os vetores são linearmente independentes. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes e geram . Se for zero, eles não geram todo o espaço.

Passo 4

Vamos calcular o determinante de :

Passo 5

Como o determinante de é , isso significa que os vetores são linearmente dependentes. Ou seja, pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros.

Resposta

Não, , pois os vetores são linearmente dependentes e não geram todo o espaço tridimensional.

Exercícios relacionados

Considere o espaço vetorial sobre . Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de .
(i) e .
Mostre o conjunto abaixo é uma base de :
Determine para quais valores de o conjunto não é uma base de .
Sejam e .
(a) Mostre que e são subespaços de .