Considere o subespaço de R^3 gerado pelos vetores v1=(1,2,3), v2=(4,5,6) e v3=(7,8,9). É verdade que [v1, v2, v3]=R^3 ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três vetores no espaço tridimensional, R^3:
v1=(1,2,3), v2=(4,5,6), v3=(7,8,9)
A questão quer saber se esses vetores geram todo o espaço R^3. Para resolver isso, vamos usar conceitos de linearidade e determinantes.

Passo 2

Para verificar se os vetores geram R^3, precisamos ver se eles são linearmente independentes. Isso significa que nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros. Uma maneira de verificar isso é calculando o determinante da matriz formada por esses vetores.

Passo 3

Vamos formar a matriz A com os vetores v1, v2, v3 como colunas:
A = 1 & 4 & 7 2 & 5 & 8 3 & 6 & 9
O determinante dessa matriz nos dirá se os vetores são linearmente independentes. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes e geram R^3. Se for zero, eles não geram todo o espaço.

Passo 4

Vamos calcular o determinante de A:
det(A) = 1 cdot (5 cdot 9 - 6 cdot 8) - 4 cdot (2 cdot 9 - 3 cdot 8) + 7 cdot (2 cdot 6 - 3 cdot 5)
det(A) = 1 cdot (45 - 48) - 4 cdot (18 - 24) + 7 cdot (12 - 15)
det(A) = 1 cdot (-3) - 4 cdot (-6) + 7 cdot (-3)
det(A) = -3 + 24 - 21 = 0

Passo 5

Como o determinante de A é 0, isso significa que os vetores v1, v2, v3 são linearmente dependentes. Ou seja, pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros.

Resposta

Não, [v1, v2, v3] neq R^3, pois os vetores são linearmente dependentes e não geram todo o espaço tridimensional.

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