Considere o subespaço de gerado pelos vetores . É verdade que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três vetores no espaço tridimensional, :
A questão quer saber se esses vetores geram todo o espaço . Para resolver isso, vamos usar conceitos de linearidade e determinantes.
Passo 2
Para verificar se os vetores geram , precisamos ver se eles são linearmente independentes. Isso significa que nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros. Uma maneira de verificar isso é calculando o determinante da matriz formada por esses vetores.
Passo 3
Vamos formar a matriz com os vetores como colunas:
O determinante dessa matriz nos dirá se os vetores são linearmente independentes. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes e geram . Se for zero, eles não geram todo o espaço.
Passo 4
Vamos calcular o determinante de :
Passo 5
Como o determinante de é , isso significa que os vetores são linearmente dependentes. Ou seja, pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Resposta
Não, , pois os vetores são linearmente dependentes e não geram todo o espaço tridimensional.