Considere o espaço vetorial sobre
. Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de
.
(i)
e
.
(ii)
e
.
(iii)
e
(i)
(ii)
(iii)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se certos conjuntos dentro do espaço vetorial
são subespaços vetoriais. Isso envolve entender o que é um subespaço: basicamente, ele tem que passar pelo zero, ser fechado em relação à adição e à multiplicação por escalar. Vamos precisar usar essas propriedades pra cada conjunto que foi dado.
Passo 2
Vamos começar com o conjunto (i):
Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em
. O vetor zero é
. Substituindo na primeira equação:
E na segunda equação:
Então, o zero está em
.
Agora, vamos checar se
é fechado sob adição e multiplicação por escalar.
Vamos resolver as equações para expressar
,
e
em termos de uma ou duas variáveis livres.
Da segunda equação,
. Substituindo na primeira:
Agora que temos
em termos de
, substituímos de volta para achar
:
Então, qualquer vetor em
pode ser escrito como:
Isso mostra que
é uma linha através da origem, que é um subespaço.
Passo 3
Vamos para o conjunto (ii):
Primeiro, verificamos se o zero está em
. O vetor zero seria
. Substituindo na primeira equação:
Isso não é verdade. Como o vetor zero não está em
, já podemos dizer que
não é um subespaço vetorial. Não precisa verificar mais nada.
Passo 4
Agora, o conjunto (iii):
Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em
. Substituindo
:
Então, o vetor
está em
.
Agora, vamos ver se
é fechado sob adição e multiplicação por escalar.
Se pegarmos dois vetores em
, digamos
e
, a soma deles é:
Que também está em
.
Para a multiplicação por escalar, se pegarmos um vetor
e multiplicarmos por um escalar
, temos:
Que também está em
.
Então,
satisfaz todas as propriedades de subespaço vetorial.
Resposta
(i)
é um subespaço vetorial de
.
(ii)
não é um subespaço vetorial de
.
(iii)
é um subespaço vetorial de
.
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Prove que a fórmula
define um produto interno em
gerado pela matriz nãosingular
.
Resolva os sistemas lineares
abaixo usando eliminação de GaussJordan: (a)
Considere o seguinte sistema de equações lineares
(a) Escreva o sistema acima na forma de uma equação matricial;
(b) Exiba a matriz ampliada (ou associada) do sistema;
© Reduza a matriz ampliada à sua forma escada reduzida por linhas. Determine o posto e nulidade do sistema;
(d) Escreva o sistema de equações lineares correspondente à matriz obtida no item anterior e resolva este sistema.
(b) Exiba a matriz ampliada (ou associada) do sistema;
© Reduza a matriz ampliada à sua forma escada reduzida por linhas. Determine o posto e nulidade do sistema;
(d) Escreva o sistema de equações lineares correspondente à matriz obtida no item anterior e resolva este sistema.