Considere o espaço vetorial sobre R, V=R^3. Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de V.
(i) S=(x, y, z) ; x=2 y+z e y=x+3 z.
(ii) S=(x, y, z) ; x=y+1 e z=0.
(iii) S=(x, y, z) ; y=0 e z=3 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se certos conjuntos dentro do espaço vetorial R^3 são subespaços vetoriais. Isso envolve entender o que é um subespaço: basicamente, ele tem que passar pelo zero, ser fechado em relação à adição e à multiplicação por escalar. Vamos precisar usar essas propriedades pra cada conjunto que foi dado.

Passo 2

Vamos começar com o conjunto (i):
S = (x, y, z) ;|; x = 2y + z e y = x + 3z
Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em S. O vetor zero é (0, 0, 0). Substituindo na primeira equação:
0 = 2(0) + 0 Rightarrow 0 = 0
E na segunda equação:
0 = 0 + 3(0) Rightarrow 0 = 0
Então, o zero está em S.
Agora, vamos checar se S é fechado sob adição e multiplicação por escalar.
Vamos resolver as equações para expressar x, y e z em termos de uma ou duas variáveis livres.
Da segunda equação, y = x + 3z. Substituindo na primeira:
x = 2(x + 3z) + z Rightarrow x = 2x + 6z + z Rightarrow x - 2x = 7z Rightarrow -x = 7z Rightarrow x = -7z
Agora que temos x em termos de z, substituímos de volta para achar y:
y = (-7z) + 3z = -4z
Então, qualquer vetor em S pode ser escrito como:
(x, y, z) = (-7z, -4z, z) = z cdot (-7, -4, 1)
Isso mostra que S é uma linha através da origem, que é um subespaço.

Passo 3

Vamos para o conjunto (ii):
S = (x, y, z) ;|; x = y + 1 e z = 0
Primeiro, verificamos se o zero está em S. O vetor zero seria (0,0,0). Substituindo na primeira equação:
0 = 0 + 1 Rightarrow 0 = 1
Isso não é verdade. Como o vetor zero não está em S, já podemos dizer que S não é um subespaço vetorial. Não precisa verificar mais nada.

Passo 4

Agora, o conjunto (iii):
S = (x, y, z) ;|; y = 0 e z = 3x
Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em S. Substituindo x = 0:
y = 0
z = 3(0) = 0
Então, o vetor (0,0,0) está em S.
Agora, vamos ver se S é fechado sob adição e multiplicação por escalar.
Se pegarmos dois vetores em S, digamos (x1, 0, 3x1) e (x2, 0, 3x2), a soma deles é:
(x1 + x2, 0 + 0, 3x1 + 3x2) = (x1 + x2, 0, 3(x1 + x2))
Que também está em S.
Para a multiplicação por escalar, se pegarmos um vetor (x, 0, 3x) e multiplicarmos por um escalar k, temos:
(kx, 0, 3kx)
Que também está em S.
Então, S satisfaz todas as propriedades de subespaço vetorial.

Resposta

(i) S é um subespaço vetorial de R^3.
(ii) S não é um subespaço vetorial de R^3.
(iii) S é um subespaço vetorial de R^3.

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