Considere o espaço vetorial sobre . Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de .
(i) e .
(ii) e .
(iii) e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se certos conjuntos dentro do espaço vetorial são subespaços vetoriais. Isso envolve entender o que é um subespaço: basicamente, ele tem que passar pelo zero, ser fechado em relação à adição e à multiplicação por escalar. Vamos precisar usar essas propriedades pra cada conjunto que foi dado.

Passo 2

Vamos começar com o conjunto (i):
Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em . O vetor zero é . Substituindo na primeira equação:
E na segunda equação:
Então, o zero está em .
Agora, vamos checar se é fechado sob adição e multiplicação por escalar.
Vamos resolver as equações para expressar , e em termos de uma ou duas variáveis livres.
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Agora que temos em termos de , substituímos de volta para achar :
Então, qualquer vetor em pode ser escrito como:
Isso mostra que é uma linha através da origem, que é um subespaço.

Passo 3

Vamos para o conjunto (ii):
Primeiro, verificamos se o zero está em . O vetor zero seria . Substituindo na primeira equação:
Isso não é verdade. Como o vetor zero não está em , já podemos dizer que não é um subespaço vetorial. Não precisa verificar mais nada.

Passo 4

Agora, o conjunto (iii):
Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em . Substituindo :
Então, o vetor está em .
Agora, vamos ver se é fechado sob adição e multiplicação por escalar.
Se pegarmos dois vetores em , digamos e , a soma deles é:
Que também está em .
Para a multiplicação por escalar, se pegarmos um vetor e multiplicarmos por um escalar , temos:
Que também está em .
Então, satisfaz todas as propriedades de subespaço vetorial.

Resposta

(i) é um subespaço vetorial de .
(ii) não é um subespaço vetorial de .
(iii) é um subespaço vetorial de .

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