Considere o seguinte sistema de equações lineares
(a) Escreva o sistema acima na forma de uma equação matricial;
(b) Exiba a matriz ampliada (ou associada) do sistema;
© Reduza a matriz ampliada à sua forma escada reduzida por linhas. Determine o posto e nulidade do sistema;
(d) Escreva o sistema de equações lineares correspondente à matriz obtida no item anterior e resolva este sistema.
(b) Exiba a matriz ampliada (ou associada) do sistema;
© Reduza a matriz ampliada à sua forma escada reduzida por linhas. Determine o posto e nulidade do sistema;
(d) Escreva o sistema de equações lineares correspondente à matriz obtida no item anterior e resolva este sistema.
Passo 1
Beleza, temos um sistema de três equações com três incógnitas:
,
e
. Vamos usar álgebra linear para resolver isso, trabalhando com matrizes e operações entre elas. Precisaremos entender como representar o sistema em forma matricial, montar a matriz ampliada, reduzir essa matriz para uma forma mais simples e, por fim, resolver as equações.
Passo 2
(a) Escrevendo o sistema na forma de uma equação matricial
Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes, o vetor das incógnitas e o vetor dos termos constantes.
Nosso sistema é:
A matriz dos coeficientes
A = 3 & -5 & 0 2 & 0 & 1 5 & 1 & -1 é formada pelos números que estão multiplicando as incógnitas:
O vetor das incógnitas
b = 1 3 0 é:
E o vetor dos termos constantes
é:
Então, a equação matricial fica:
Passo 3
(b) Exibindo a matriz ampliada do sistema
A matriz ampliada combina a matriz dos coeficientes
( A | b ) = 3 & -5 & 0 & | & 1 2 & 0 & 1 & | & 3 5 & 1 & -1 & | & 0 e o vetor das constantes
em uma única matriz, separando
por uma linha vertical para indicar o “lado direito” das equações.
Ficando assim:
Passo 4
© Reduzindo a matriz ampliada à forma escada reduzida por linhas e determinando o posto e a nulidade
Vamos usar operações elementares de linhas para simplificar a matriz ampliada:
-
Primeira Etapa: Tornar o primeiro elemento da primeira linha igual a 1
- Dividimos a primeira linha por 3:
R1 = 13 R1 Rightarrow 1 & -53 & 0 & | & 13 2 & 0 & 1 & | & 3 5 & 1 & -1 & | & 0 -
Segunda Etapa: Eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (primeiro 1)
- Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
R2 = R2 - 2R1 Rightarrow 1 & -53 & 0 & | & 13 0 & 103 & 1 & | & 73 5 & 1 & -1 & | & 0 - Subtraímos 5 vezes a primeira linha da terceira linha:
R3 = R3 - 5R1 Rightarrow 1 & -53 & 0 & | & 13 0 & 103 & 1 & | & 73 0 & 163 & -1 & | & -53 -
Terceira Etapa: Tornar o segundo pivô igual a 1
- Multiplicamos a segunda linha por
:R2 = 310 R2 Rightarrow 1 & -53 & 0 & | & 13 0 & 1 & 310 & | & 710 0 & 163 & -1 & | & -53
R1 = R1 + 53 R2 Rightarrow 1 & 0 & 12 & | & 23 0 & 1 & 310 & | & 710 0 & 163 & -1 & | & -53 - Multiplicamos a segunda linha por
-
Quarta Etapa: Eliminar o elemento acima e abaixo do segundo pivô
- Subtraímos
vezes a segunda linha da primeira linha:R3 = R3 - 163 R2 Rightarrow 1 & 0 & 12 & | & 23 0 & 1 & 310 & | & 710 0 & 0 & -195 & | & -195
R3 = -519 R3 Rightarrow 1 & 0 & 12 & | & 23 0 & 1 & 310 & | & 710 0 & 0 & 1 & | & 1 - Subtraímos
vezes a segunda linha da terceira linha:
- Subtraímos
-
Quinta Etapa: Tornar o terceiro pivô igual a 1
- Multiplicamos a terceira linha por
:
- Multiplicamos a terceira linha por
Agora, a matriz está na forma escada reduzida por linhas.
Determinação do posto e da nulidade:
- Posto: Número de linhas não nulas na forma escada reduzida, que aqui é 3.
- Nulidade: Número de incógnitas menos o posto. Como temos 3 incógnitas, a nulidade é
.
Isso indica que o sistema tem uma solução única.
Passo 5
(d) Escrevendo o sistema correspondente à matriz reduzida e resolvendo
A matriz reduzida nos dá o seguinte sistema:
Vamos resolver de baixo para cima:
-
Encontrando
:z = 1 y + 310(1) = 710 y = 710 - 310 = 410 = 25 -
Substituindo
na segunda equação para encontrarx + 12(1) = 23 x = 23 - 12 = 46 - 36 = 16 : -
Substituindo
na primeira equação para encontrar :
Resposta
A solução do sistema é: