Considere o seguinte sistema de equações lineares
(a) Escreva o sistema acima na forma de uma equação matricial;
(b) Exiba a matriz ampliada (ou associada) do sistema;
© Reduza a matriz ampliada à sua forma escada reduzida por linhas. Determine o posto e nulidade do sistema;
(d) Escreva o sistema de equações lineares correspondente à matriz obtida no item anterior e resolva este sistema.
(b) Exiba a matriz ampliada (ou associada) do sistema;
© Reduza a matriz ampliada à sua forma escada reduzida por linhas. Determine o posto e nulidade do sistema;
(d) Escreva o sistema de equações lineares correspondente à matriz obtida no item anterior e resolva este sistema.
Passo 1
Beleza, temos um sistema de três equações com três incógnitas:
,
e
. Vamos usar álgebra linear para resolver isso, trabalhando com matrizes e operações entre elas. Precisaremos entender como representar o sistema em forma matricial, montar a matriz ampliada, reduzir essa matriz para uma forma mais simples e, por fim, resolver as equações.
Passo 2
(a) Escrevendo o sistema na forma de uma equação matricial
Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes, o vetor das incógnitas e o vetor dos termos constantes.
Nosso sistema é:
A matriz dos coeficientes
é formada pelos números que estão multiplicando as incógnitas:
O vetor das incógnitas
é:
E o vetor dos termos constantes
é:
Então, a equação matricial fica:
Passo 3
(b) Exibindo a matriz ampliada do sistema
A matriz ampliada combina a matriz dos coeficientes
e o vetor das constantes
em uma única matriz, separando
por uma linha vertical para indicar o “lado direito” das equações.
Ficando assim:
Passo 4
© Reduzindo a matriz ampliada à forma escada reduzida por linhas e determinando o posto e a nulidade
Vamos usar operações elementares de linhas para simplificar a matriz ampliada:
-
Primeira Etapa: Tornar o primeiro elemento da primeira linha igual a 1
- Dividimos a primeira linha por 3:
-
Segunda Etapa: Eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (primeiro 1)
- Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
- Subtraímos 5 vezes a primeira linha da terceira linha:
-
Terceira Etapa: Tornar o segundo pivô igual a 1
- Multiplicamos a segunda linha por
:
- Multiplicamos a segunda linha por
-
Quarta Etapa: Eliminar o elemento acima e abaixo do segundo pivô
- Subtraímos
vezes a segunda linha da primeira linha:
- Subtraímos
vezes a segunda linha da terceira linha:
- Subtraímos
-
Quinta Etapa: Tornar o terceiro pivô igual a 1
- Multiplicamos a terceira linha por
:
- Multiplicamos a terceira linha por
Agora, a matriz está na forma escada reduzida por linhas.
Determinação do posto e da nulidade:
- Posto: Número de linhas não nulas na forma escada reduzida, que aqui é 3.
- Nulidade: Número de incógnitas menos o posto. Como temos 3 incógnitas, a nulidade é
.
Isso indica que o sistema tem uma solução única.
Passo 5
(d) Escrevendo o sistema correspondente à matriz reduzida e resolvendo
A matriz reduzida nos dá o seguinte sistema:
Vamos resolver de baixo para cima:
-
Encontrando
: -
Substituindo
na segunda equação para encontrar : -
Substituindo
na primeira equação para encontrar :
Resposta
A solução do sistema é:
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Resolva os sistemas lineares
abaixo usando eliminação de GaussJordan: (a)
Considere o espaço vetorial sobre
. Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de
.
(i) e
.
(ii) e
.
(iii) e
(i)
(ii)
(iii)
Resolva os sistemas lineares
abaixo usando eliminação de GaussJordan: (f)
Use o produto interno euclidiano em
gerado por
para calcular
e
.