Considere o seguinte sistema de equações lineares
3 x-5 y & =1 2 x+z & =3 5 x+y-z & =0
(a) Escreva o sistema acima na forma de uma equação matricial;
(b) Exiba a matriz ampliada (ou associada) do sistema;
© Reduza a matriz ampliada à sua forma escada reduzida por linhas. Determine o posto e nulidade do sistema;
(d) Escreva o sistema de equações lineares correspondente à matriz obtida no item anterior e resolva este sistema.

Passo 1

Beleza, temos um sistema de três equações com três incógnitas: , e . Vamos usar álgebra linear para resolver isso, trabalhando com matrizes e operações entre elas. Precisaremos entender como representar o sistema em forma matricial, montar a matriz ampliada, reduzir essa matriz para uma forma mais simples e, por fim, resolver as equações.

Passo 2

(a) Escrevendo o sistema na forma de uma equação matricial
Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes, o vetor das incógnitas e o vetor dos termos constantes.
Nosso sistema é:
3x - 5y = 1 2x + z = 3 5x + y - z = 0
A matriz dos coeficientes A = 3 & -5 & 0 2 & 0 & 1 5 & 1 & -1 é formada pelos números que estão multiplicando as incógnitas:
x = x y z
O vetor das incógnitas b = 1 3 0 é:
A x = b
E o vetor dos termos constantes é:
Então, a equação matricial fica:

Passo 3

(b) Exibindo a matriz ampliada do sistema
A matriz ampliada combina a matriz dos coeficientes ( A | b ) = 3 & -5 & 0 & | & 1 2 & 0 & 1 & | & 3 5 & 1 & -1 & | & 0 e o vetor das constantes em uma única matriz, separando por uma linha vertical para indicar o “lado direito” das equações.
Ficando assim:

Passo 4

© Reduzindo a matriz ampliada à forma escada reduzida por linhas e determinando o posto e a nulidade
Vamos usar operações elementares de linhas para simplificar a matriz ampliada:
  1. Primeira Etapa: Tornar o primeiro elemento da primeira linha igual a 1
    • Dividimos a primeira linha por 3:
    R1 = 13 R1 Rightarrow 1 & -53 & 0 & | & 13 2 & 0 & 1 & | & 3 5 & 1 & -1 & | & 0
  2. Segunda Etapa: Eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (primeiro 1)
    • Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
    R2 = R2 - 2R1 Rightarrow 1 & -53 & 0 & | & 13 0 & 103 & 1 & | & 73 5 & 1 & -1 & | & 0
    • Subtraímos 5 vezes a primeira linha da terceira linha:
    R3 = R3 - 5R1 Rightarrow 1 & -53 & 0 & | & 13 0 & 103 & 1 & | & 73 0 & 163 & -1 & | & -53
  3. Terceira Etapa: Tornar o segundo pivô igual a 1
    • Multiplicamos a segunda linha por R2 = 310 R2 Rightarrow 1 & -53 & 0 & | & 13 0 & 1 & 310 & | & 710 0 & 163 & -1 & | & -53 :
    R1 = R1 + 53 R2 Rightarrow 1 & 0 & 12 & | & 23 0 & 1 & 310 & | & 710 0 & 163 & -1 & | & -53
  4. Quarta Etapa: Eliminar o elemento acima e abaixo do segundo pivô
    • Subtraímos R3 = R3 - 163 R2 Rightarrow 1 & 0 & 12 & | & 23 0 & 1 & 310 & | & 710 0 & 0 & -195 & | & -195 vezes a segunda linha da primeira linha:
    R3 = -519 R3 Rightarrow 1 & 0 & 12 & | & 23 0 & 1 & 310 & | & 710 0 & 0 & 1 & | & 1
    • Subtraímos vezes a segunda linha da terceira linha:
  5. Quinta Etapa: Tornar o terceiro pivô igual a 1
    • Multiplicamos a terceira linha por :
Agora, a matriz está na forma escada reduzida por linhas.
Determinação do posto e da nulidade:
  • Posto: Número de linhas não nulas na forma escada reduzida, que aqui é 3.
  • Nulidade: Número de incógnitas menos o posto. Como temos 3 incógnitas, a nulidade é .
Isso indica que o sistema tem uma solução única.

Passo 5

(d) Escrevendo o sistema correspondente à matriz reduzida e resolvendo
A matriz reduzida nos dá o seguinte sistema:
x + 12z = 23 y + 310z = 710 z = 1
Vamos resolver de baixo para cima:
  1. Encontrando z = 1 :
    y + 310(1) = 710 y = 710 - 310 = 410 = 25
  2. Substituindo x + 12(1) = 23 x = 23 - 12 = 46 - 36 = 16 na segunda equação para encontrar :
  3. Substituindo na primeira equação para encontrar :

Resposta

A solução do sistema é:
x = 16, y = 25, z = 1

Exercícios relacionados