Considere o seguinte sistema de equações lineares
(a) Escreva o sistema acima na forma de uma equação matricial;
(b) Exiba a matriz ampliada (ou associada) do sistema;
© Reduza a matriz ampliada à sua forma escada reduzida por linhas. Determine o posto e nulidade do sistema;
(d) Escreva o sistema de equações lineares correspondente à matriz obtida no item anterior e resolva este sistema.

Passo 1

Beleza, temos um sistema de três equações com três incógnitas: , e . Vamos usar álgebra linear para resolver isso, trabalhando com matrizes e operações entre elas. Precisaremos entender como representar o sistema em forma matricial, montar a matriz ampliada, reduzir essa matriz para uma forma mais simples e, por fim, resolver as equações.

Passo 2

(a) Escrevendo o sistema na forma de uma equação matricial
Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes, o vetor das incógnitas e o vetor dos termos constantes.
Nosso sistema é:
A matriz dos coeficientes é formada pelos números que estão multiplicando as incógnitas:
O vetor das incógnitas é:
E o vetor dos termos constantes é:
Então, a equação matricial fica:

Passo 3

(b) Exibindo a matriz ampliada do sistema
A matriz ampliada combina a matriz dos coeficientes e o vetor das constantes em uma única matriz, separando por uma linha vertical para indicar o “lado direito” das equações.
Ficando assim:

Passo 4

© Reduzindo a matriz ampliada à forma escada reduzida por linhas e determinando o posto e a nulidade
Vamos usar operações elementares de linhas para simplificar a matriz ampliada:
  1. Primeira Etapa: Tornar o primeiro elemento da primeira linha igual a 1
    • Dividimos a primeira linha por 3:
  2. Segunda Etapa: Eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (primeiro 1)
    • Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
    • Subtraímos 5 vezes a primeira linha da terceira linha:
  3. Terceira Etapa: Tornar o segundo pivô igual a 1
    • Multiplicamos a segunda linha por :
  4. Quarta Etapa: Eliminar o elemento acima e abaixo do segundo pivô
    • Subtraímos vezes a segunda linha da primeira linha:
    • Subtraímos vezes a segunda linha da terceira linha:
  5. Quinta Etapa: Tornar o terceiro pivô igual a 1
    • Multiplicamos a terceira linha por :
Agora, a matriz está na forma escada reduzida por linhas.
Determinação do posto e da nulidade:
  • Posto: Número de linhas não nulas na forma escada reduzida, que aqui é 3.
  • Nulidade: Número de incógnitas menos o posto. Como temos 3 incógnitas, a nulidade é .
Isso indica que o sistema tem uma solução única.

Passo 5

(d) Escrevendo o sistema correspondente à matriz reduzida e resolvendo
A matriz reduzida nos dá o seguinte sistema:
Vamos resolver de baixo para cima:
  1. Encontrando :
  2. Substituindo na segunda equação para encontrar :
  3. Substituindo na primeira equação para encontrar :

Resposta

A solução do sistema é:

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(ii) e .
(iii) e
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