Prove que a fórmula
define um produto interno em
gerado pela matriz nãosingular
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para provar que a fórmula
define um produto interno em
. Isso está relacionado à matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre produtos internos. Para resolver, vamos precisar entender as propriedades que definem um produto interno e verificar se a fórmula dada as satisfaz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno. Um produto interno em
é uma função que, para dois vetores
e
, retorna um número real e que satisfaz quatro propriedades fundamentais:
- Simetria:
- Linearidade no primeiro argumento:
- Positividade:
- Definido positivo:
só se
Nosso objetivo é verificar se a fórmula dada atende a todas essas propriedades.
Passo 3
Simetria: Vamos ver se
.
A fórmula é
. Se trocarmos
e
, teremos
.
Lembrando que
, e como números reais são iguais ao seus transpostos, isso mostra que
. Então, a simetria está satisfeita.
Passo 4
Linearidade no primeiro argumento: Precisamos mostrar que
.
Vamos aplicar a fórmula:
Assim, a linearidade no primeiro argumento também está confirmada.
Passo 5
Positividade e definido positivo: Vamos ver se
e se for igual a zero, então
.
Aplicando a fórmula:
Como o quadrado de uma norma é sempre não negativo, temos
.
Agora, se
, então
, o que implica que
. Como
é uma matriz não singular (ou seja, invertível), isso só acontece se
. Portanto, a propriedade definido positiva também é satisfeita.
Resposta
Concluímos que a fórmula
satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um produto interno em
gerado pela matriz não singular
.