Prove que a fórmula define um produto interno em gerado pela matriz nãosingular .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para provar que a fórmula define um produto interno em . Isso está relacionado à matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre produtos internos. Para resolver, vamos precisar entender as propriedades que definem um produto interno e verificar se a fórmula dada as satisfaz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno. Um produto interno em é uma função que, para dois vetores e , retorna um número real e que satisfaz quatro propriedades fundamentais:
1. **Simetria**:
2. **Linearidade no primeiro argumento**:
3. **Positividade**:
4. **Definido positivo**: só se
Nosso objetivo é verificar se a fórmula dada atende a todas essas propriedades.
Passo 3
**Simetria**: Vamos ver se .
A fórmula é . Se trocarmos e , teremos .
Lembrando que , e como números reais são iguais ao seus transpostos, isso mostra que . Então, a simetria está satisfeita.
Passo 4
**Linearidade no primeiro argumento**: Precisamos mostrar que .
Vamos aplicar a fórmula:
Assim, a linearidade no primeiro argumento também está confirmada.
Passo 5
**Positividade e definido positivo**: Vamos ver se e se for igual a zero, então .
Aplicando a fórmula:
Como o quadrado de uma norma é sempre não negativo, temos .
Agora, se , então , o que implica que . Como é uma matriz não singular (ou seja, invertível), isso só acontece se . Portanto, a propriedade definido positiva também é satisfeita.
Resposta
Concluímos que a fórmula satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um produto interno em gerado pela matriz não singular .
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