Prove que a fórmula define um produto interno em gerado pela matriz nãosingular .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para provar que a fórmula define um produto interno em . Isso está relacionado à matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre produtos internos. Para resolver, vamos precisar entender as propriedades que definem um produto interno e verificar se a fórmula dada as satisfaz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno. Um produto interno em é uma função que, para dois vetores e , retorna um número real e que satisfaz quatro propriedades fundamentais: 1. **Simetria**: 2. **Linearidade no primeiro argumento**: 3. **Positividade**: 4. **Definido positivo**: só se Nosso objetivo é verificar se a fórmula dada atende a todas essas propriedades.

Passo 3

**Simetria**: Vamos ver se . A fórmula é . Se trocarmos e , teremos . Lembrando que , e como números reais são iguais ao seus transpostos, isso mostra que . Então, a simetria está satisfeita.

Passo 4

**Linearidade no primeiro argumento**: Precisamos mostrar que . Vamos aplicar a fórmula: Assim, a linearidade no primeiro argumento também está confirmada.

Passo 5

**Positividade e definido positivo**: Vamos ver se e se for igual a zero, então . Aplicando a fórmula: Como o quadrado de uma norma é sempre não negativo, temos . Agora, se , então , o que implica que . Como é uma matriz não singular (ou seja, invertível), isso só acontece se . Portanto, a propriedade definido positiva também é satisfeita.

Resposta

Concluímos que a fórmula satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um produto interno em gerado pela matriz não singular .

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