Prove que a fórmula lang<=u, vrang<==v^t A^t A u define um produto interno em R^n gerado pela matriz nãosingular An times n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para provar que a fórmula define um produto interno em . Isso está relacionado à matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre produtos internos. Para resolver, vamos precisar entender as propriedades que definem um produto interno e verificar se a fórmula dada as satisfaz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno. Um produto interno em é uma função que, para dois vetores e , retorna um número real e que satisfaz quatro propriedades fundamentais:
  1. Simetria:
  2. Linearidade no primeiro argumento:
  3. Positividade:
  4. Definido positivo: só se
Nosso objetivo é verificar se a fórmula dada atende a todas essas propriedades.

Passo 3

Simetria: Vamos ver se .
A fórmula é . Se trocarmos e , teremos .
Lembrando que , e como números reais são iguais ao seus transpostos, isso mostra que . Então, a simetria está satisfeita.

Passo 4

Linearidade no primeiro argumento: Precisamos mostrar que lang<= au + bw, v rang<= = v^t A^t A (au + bw) = a v^t A^t A u + b v^t A^t A w = alang<=u, vrang<= + blang<=w, vrang<= .
Vamos aplicar a fórmula:
Assim, a linearidade no primeiro argumento também está confirmada.

Passo 5

Positividade e definido positivo: Vamos ver se lang<=u, urang<= = u^t A^t A u = (Au)^t (Au) = |Au|^2 e se for igual a zero, então .
Aplicando a fórmula:
Como o quadrado de uma norma é sempre não negativo, temos .
Agora, se , então , o que implica que . Como é uma matriz não singular (ou seja, invertível), isso só acontece se . Portanto, a propriedade definido positiva também é satisfeita.

Resposta

Concluímos que a fórmula satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um produto interno em gerado pela matriz não singular .

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