Considere o sistema linear lx+2 y-z=2 2 x-2 y+3 z=1 x+2 y-(m^2-3) z=m. Para quais valores de m o sistema tem: (b) Infinitas soluções.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos um sistema de equações lineares com três equações e três incógnitas ( x, y, z), que depende de um parâmetro m. A matéria envolvida aqui é Sistemas Lineares e vamos precisar usar métodos de resolução de sistemas, como o método de substituição ou o método de matrizes.

Passo 2

Vamos escrever o sistema de equações de forma clara:
x + 2y - z = 2 2x - 2y + 3z = 1 x + 2y - (m^2 - 3)z = m

Passo 3

Para achar os valores de m que tornam o sistema possível e indeterminado (ou seja, com infinitas soluções), precisamos que as três equações sejam dependentes, ou seja, que uma delas possa ser obtida como combinação linear das outras duas. Isso geralmente acontece quando o determinante da matriz dos coeficientes é zero.

Passo 4

Vamos montar a matriz dos coeficientes:
A = 1 & 2 & -1 2 & -2 & 3 1 & 2 & -(m^2 - 3)

Passo 5

Calculamos o determinante da matriz A:
det(A) = 1 cdot ( (-2) cdot (-(m^2 - 3)) - 3 cdot 2 ) - 2 cdot ( 2 cdot (-(m^2 - 3)) - 3 cdot 1 ) + (-1) cdot ( 2 cdot 2 - (-2) cdot 1 )

Passo 6

Simplificando o determinante:
det(A) = 1 cdot (2(m^2 - 3) - 6) - 2 cdot (-2(m^2 - 3) - 3) -1 cdot (4 + 2)
det(A) = 2(m^2 - 3) - 6 + 4(m^2 - 3) + 6 - 6
det(A) = 6(m^2 - 3) - 6
det(A) = 6m^2 - 18 - 6
det(A) = 6m^2 - 24

Passo 7

Para o sistema ter infinitas soluções, o determinante deve ser zero:
6m^2 - 24 = 0
6m^2 = 24
m^2 = 4
m = pm 2

Resposta

Os valores de m que tornam o sistema com infinitas soluções são m = 2 e m = -2.

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