Resolva os sistemas lineares abaixo usando eliminação de GaussJordan: (a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando a eliminação de Gauss-Jordan. O sistema que temos é:
A matéria que estamos trabalhando aqui é álgebra linear, especificamente a resolução de sistemas de equações lineares. Para resolver isso, vamos precisar manipular as equações de forma a encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos representar o sistema na forma de matriz aumentada, que facilita a aplicação da eliminação de Gauss-Jordan. A matriz aumentada fica assim:

Passo 3

Agora, nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma simplificada, onde conseguimos identificar facilmente os valores das incógnitas. Vamos começar pelo primeiro elemento da primeira linha, o 3, que chamamos de pivô.
Primeiro, vamos trocar a primeira linha com a segunda linha para facilitar os cálculos, já que o primeiro elemento da segunda linha é 2, que é menor que 3, mas ainda útil.

Passo 4

Agora, vamos eliminar os elementos abaixo do pivô (que é 2 na primeira coluna). Para isso, usamos operações lineares:
  • Linha2 = Linha2 - (3/2) * Linha1
  • Linha3 = Linha3 - (2/2) * Linha1
Calculando:
Para Linha2:
Para Linha3:
A matriz agora fica:

Passo 5

Vamos simplificar as frações multiplicando a segunda linha por 2 para eliminar os denominadores:

Passo 6

Agora, vamos eliminar o elemento abaixo do pivô na segunda coluna. Subtraímos a segunda linha da terceira linha:
Linha3 = Linha3 - Linha2
A matriz fica:

Passo 7

Agora, já temos uma matriz triangularizada. Vamos resolver de baixo para cima.
Primeiro, da terceira linha:

Passo 8

Substituímos na segunda equação:

Passo 9

Por fim, substituímos e na primeira equação:

Resposta

A solução do sistema é:

Exercícios relacionados

Considere o espaço vetorial sobre . Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de .
(i) e .
(ii) e .
(iii) e
Considere o seguinte sistema de equações lineares
(a) Escreva o sistema acima na forma de uma equação matricial;
(b) Exiba a matriz ampliada (ou associada) do sistema;
© Reduza a matriz ampliada à sua forma escada reduzida por linhas. Determine o posto e nulidade do sistema;
(d) Escreva o sistema de equações lineares correspondente à matriz obtida no item anterior e resolva este sistema.
Resolva os sistemas lineares abaixo usando eliminação de GaussJordan: (f)