Resolva os sistemas lineares A x=b abaixo usando eliminação de GaussJordan: (a) 3 x1-x2+2 x3 & =-1 2 x1+x2 & =3 2 x1-4 x2-2 x3 & =-4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando a eliminação de Gauss-Jordan. O sistema que temos é:
3x1 - x2 + 2x3 = -1 2x1 + x2 = 3 2x1 - 4x2 - 2x3 = -4
A matéria que estamos trabalhando aqui é álgebra linear, especificamente a resolução de sistemas de equações lineares. Para resolver isso, vamos precisar manipular as equações de forma a encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos representar o sistema na forma de matriz aumentada, que facilita a aplicação da eliminação de Gauss-Jordan. A matriz aumentada fica assim:
3 & -1 & 2 & | & -1 2 & 1 & 0 & | & 3 2 & -4 & -2 & | & -4

Passo 3

Agora, nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma simplificada, onde conseguimos identificar facilmente os valores das incógnitas. Vamos começar pelo primeiro elemento da primeira linha, o 3, que chamamos de pivô.
Primeiro, vamos trocar a primeira linha com a segunda linha para facilitar os cálculos, já que o primeiro elemento da segunda linha é 2, que é menor que 3, mas ainda útil.
2 & 1 & 0 & | & 3 3 & -1 & 2 & | & -1 2 & -4 & -2 & | & -4

Passo 4

Agora, vamos eliminar os elementos abaixo do pivô (que é 2 na primeira coluna). Para isso, usamos operações lineares:
  • Linha2 = Linha2 - (3/2) * Linha1
  • Linha3 = Linha3 - (2/2) * Linha1
Calculando:
Para Linha2:
3 - 32 times 2 = 3 - 3 = 0
-1 - 32 times 1 = -1 - 32 = -52
2 - 32 times 0 = 2
-1 - 32 times 3 = -1 - 92 = -112
Para Linha3:
2 - 22 times 2 = 2 - 2 = 0
-4 - 22 times 1 = -4 -1 = -5
-2 - 22 times 0 = -2
-4 - 22 times 3 = -4 -3 = -7
A matriz agora fica:
2 & 1 & 0 & | & 3 0 & -52 & 2 & | & -112 0 & -5 & -2 & | & -7

Passo 5

Vamos simplificar as frações multiplicando a segunda linha por 2 para eliminar os denominadores:
2 & 1 & 0 & | & 3 0 & -5 & 4 & | & -11 0 & -5 & -2 & | & -7

Passo 6

Agora, vamos eliminar o elemento abaixo do pivô na segunda coluna. Subtraímos a segunda linha da terceira linha:
Linha3 = Linha3 - Linha2
0 - 0 = 0
-5 - (-5) = 0
-2 - 4 = -6
-7 - (-11) = 4
A matriz fica:
2 & 1 & 0 & | & 3 0 & -5 & 4 & | & -11 0 & 0 & -6 & | & 4

Passo 7

Agora, já temos uma matriz triangularizada. Vamos resolver de baixo para cima.
Primeiro, da terceira linha:
-6x3 = 4 Rightarrow x3 = 4-6 = -23

Passo 8

Substituímos -5x2 + 4(-23) = -11 -5x2 - 83 = -11 -5x2 = -11 + 83 -5x2 = -333 + 83 = -253 x2 = -253-5 = 2515 = 53 na segunda equação:

Passo 9

Por fim, substituímos 2x1 + x2 = 3 2x1 + 53 = 3 2x1 = 3 - 53 = 93 - 53 = 43 x1 = 432 = 46 = 23 e na primeira equação:

Resposta

A solução do sistema é:
x1 = 23, x2 = 53, x3 = -23

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