Demonstrar que o conjunto de números reais G=a+b raiz2 / a, b in Z forma um grupo com a operação de adição (usual).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o conjunto forma um grupo com a operação de adição usuais. Para isso, precisamos entender primeiro o que é um grupo na matemática. Um grupo é basicamente um conjunto de elementos com uma operação que combina dois elementos para formar outro do conjunto, e que satisfaz algumas propriedades específicas: fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos.

Passo 2

Fechamento: Primeiro, vamos verificar se o conjunto (a + braiz2) + (c + draiz2) = (a + c) + (b + d)raiz2 é fechado sob a adição. Isso significa que, se você pegar dois elementos quaisquer de e somá-los, o resultado também deve estar em .
Então, se temos dois elementos e em , onde são inteiros, a soma deles será:
Como e são inteiros (já que inteiros somados dão inteiros), o resultado também está em . Portanto, é fechado sob a adição.

Passo 3

Associatividade: A próxima propriedade é a associatividade, que já é uma característica da adição de números reais. Isso significa que, para quaisquer três elementos (x + y) + z = x + (y + z) em :
Como estamos usando a adição usual dos números reais, essa propriedade é automaticamente satisfeita.

Passo 4

Elemento Neutro: Precisamos encontrar um elemento neutro no conjunto 0 = 0 + 0raiz2 para a adição. O elemento neutro é aquele que, quando somado a qualquer elemento de , retorna o próprio elemento.
Para a adição, o elemento neutro é 0. Vamos verificar se ele está em :
Aqui, e são inteiros, então está em . Assim, tem um elemento neutro para a adição.

Passo 5

Inversos: Por último, precisamos mostrar que todo elemento de -a - braiz2 = (-a) + (-b)raiz2 tem um inverso em para a adição. O inverso de um elemento é o elemento que, quando somado a ele, resulta no elemento neutro (que é 0).
O inverso de é . Vamos verificar se esse inverso está em :
Como e são inteiros (porque inteiros são fechados sob a multiplicação por -1), o inverso também está em .

Resposta

Assim, verificamos que o conjunto satisfaz todas as propriedades necessárias (fechamento, associatividade, elemento neutro e inversos) para ser um grupo com a operação de adição usual.

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