Demonstrar que o conjunto de números reais
forma um grupo com a operação de adição (usual).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o conjunto
forma um grupo com a operação de adição usuais. Para isso, precisamos entender primeiro o que é um grupo na matemática. Um grupo é basicamente um conjunto de elementos com uma operação que combina dois elementos para formar outro do conjunto, e que satisfaz algumas propriedades específicas: fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos.
Passo 2
Fechamento: Primeiro, vamos verificar se o conjunto
é fechado sob a adição. Isso significa que, se você pegar dois elementos quaisquer de
e somá-los, o resultado também deve estar em
.
Então, se temos dois elementos
e
em
, onde
são inteiros, a soma deles será:
Como
e
são inteiros (já que inteiros somados dão inteiros), o resultado
também está em
. Portanto,
é fechado sob a adição.
Passo 3
Associatividade: A próxima propriedade é a associatividade, que já é uma característica da adição de números reais. Isso significa que, para quaisquer três elementos
em
:
Como estamos usando a adição usual dos números reais, essa propriedade é automaticamente satisfeita.
Passo 4
Elemento Neutro: Precisamos encontrar um elemento neutro no conjunto
para a adição. O elemento neutro é aquele que, quando somado a qualquer elemento de
, retorna o próprio elemento.
Para a adição, o elemento neutro é 0. Vamos verificar se ele está em
:
Aqui,
e
são inteiros, então
está em
. Assim,
tem um elemento neutro para a adição.
Passo 5
Inversos: Por último, precisamos mostrar que todo elemento de
tem um inverso em
para a adição. O inverso de um elemento
é o elemento que, quando somado a ele, resulta no elemento neutro (que é 0).
O inverso de
é
. Vamos verificar se esse inverso está em
:
Como
e
são inteiros (porque inteiros são fechados sob a multiplicação por -1), o inverso
também está em
.
Resposta
Assim, verificamos que o conjunto
satisfaz todas as propriedades necessárias (fechamento, associatividade, elemento neutro e inversos) para ser um grupo com a operação de adição usual.
Exercícios relacionados
Considere o espaço vetorial
de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Determine quais dos seguintes conjuntos são bases para
(a) ,
(b) ,
© ,
(d) .
(a)
(b)
©
(d)
Verifique se o conjunto
junto com a operação usual de multiplicação em
constitui um grupo.
Seja
. Mostre que (
) é um grupo.
Seja
uma base de
. Determine o vetor coordenada de
em relação à base
nos seguintes casos:
(a) ,
(b) , onde
e
são valores reais arbitrários.
(a)
(b)