Seja
. Mostre que (
) é um grupo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para mostrar que o conjunto
com a operação de adição
forma um grupo. Estamos falando de Teoria dos Grupos, que estuda conjuntos com uma operação que satisfaz certas propriedades. Para provar que
é um grupo, precisamos verificar quatro propriedades básicas: fechamento, associatividade, existência do elemento identidade e existência de inversos.
Passo 2
Fechamento: Precisamos mostrar que, se a gente pegar dois elementos quaisquer de
e somar eles, o resultado ainda pertence a
. Vamos supor que temos dois elementos
e
em
, onde
e
são inteiros.
Como
é um inteiro (porque
é fechado para a adição), então
também pertence a
. Portanto,
é fechado sob a operação de adição.
Passo 3
Associatividade: A associatividade diz que a forma como a gente agrupa os elementos não altera o resultado da operação. Em termos matemáticos, para todo
:
Como estamos trabalhando com a operação de adição de números inteiros, que já é associativa, essa propriedade é automaticamente satisfeita em
.
Passo 4
Elemento identidade: O grupo precisa ter um elemento que, quando somado a qualquer elemento do grupo, não altera o elemento. No caso da adição, o elemento identidade é 0.
Vamos verificar se 0 pertence a
:
Como
é um inteiro,
. Além disso, para qualquer
:
Portanto, 0 funciona como o elemento identidade em
.
Passo 5
Elementos inversos: Cada elemento do grupo precisa ter um inverso que, quando somado ao elemento original, resulte no elemento identidade.
Para qualquer
, o inverso seria
:
Como
é um inteiro (já que
é inteiro),
também pertence a
. Portanto, todo elemento em
tem seu inverso em
.
Resposta
Como verificamos que
é fechado sob a adição, a operação é associativa, existe um elemento identidade (que é 0) e todo elemento tem seu inverso dentro de
, podemos concluir que
é um grupo.
Exercícios relacionados
Demonstrar que o conjunto de números reais
forma um grupo com a operação de adição (usual).
Considere o espaço vetorial
de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Determine quais dos seguintes conjuntos são bases para
(a) ,
(b) ,
© ,
(d) .
(a)
(b)
©
(d)
Seja
uma base de
. Determine o vetor coordenada de
em relação à base
nos seguintes casos:
(a) ,
(b) , onde
e
são valores reais arbitrários.
(a)
(b)
Seja
um conjunto não vazio provido de um produto associativo, então
é um grupo se, e somente se, as equações
tem solução única para cada
.