Seja . Mostre que ( ) é um grupo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para mostrar que o conjunto com a operação de adição forma um grupo. Estamos falando de Teoria dos Grupos, que estuda conjuntos com uma operação que satisfaz certas propriedades. Para provar que é um grupo, precisamos verificar quatro propriedades básicas: fechamento, associatividade, existência do elemento identidade e existência de inversos.

Passo 2

Fechamento: Precisamos mostrar que, se a gente pegar dois elementos quaisquer de e somar eles, o resultado ainda pertence a . Vamos supor que temos dois elementos e em , onde e são inteiros.
Como é um inteiro (porque é fechado para a adição), então também pertence a . Portanto, é fechado sob a operação de adição.

Passo 3

Associatividade: A associatividade diz que a forma como a gente agrupa os elementos não altera o resultado da operação. Em termos matemáticos, para todo :
Como estamos trabalhando com a operação de adição de números inteiros, que já é associativa, essa propriedade é automaticamente satisfeita em .

Passo 4

Elemento identidade: O grupo precisa ter um elemento que, quando somado a qualquer elemento do grupo, não altera o elemento. No caso da adição, o elemento identidade é 0.
Vamos verificar se 0 pertence a :
Como é um inteiro, . Além disso, para qualquer :
Portanto, 0 funciona como o elemento identidade em .

Passo 5

Elementos inversos: Cada elemento do grupo precisa ter um inverso que, quando somado ao elemento original, resulte no elemento identidade.
Para qualquer , o inverso seria :
Como é um inteiro (já que é inteiro), também pertence a . Portanto, todo elemento em tem seu inverso em .

Resposta

Como verificamos que é fechado sob a adição, a operação é associativa, existe um elemento identidade (que é 0) e todo elemento tem seu inverso dentro de , podemos concluir que é um grupo.

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