Considere um espaço vetorial tridimensional gerado por uma base ortonormal . Os kets e são dados por:
Calcule os nove elementos de matriz do operador nos termos dessa base e monte a matriz . Ela é hermitiana?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está trabalhando com espaços vetoriais tridimensionais e operadores lineares. O que precisamos fazer aqui é calcular os nove elementos da matriz do operador na base ortonormal e montar a matriz . Depois, vamos verificar se essa matriz é hermitiana. Para isso, vamos precisar entender como multiplicar vetores e usar produtos internos em espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o operador . Esse operador é formado pelo produto externo dos vetores e . Em termos mais simples, ele transforma qualquer vetor do espaço aplicando certos coeficientes que derivam desses dois vetores.

Passo 3

Vamos anotar os vetores dados:

Passo 4

Para encontrar a matriz do operador , precisamos calcular todos os produtos para e multiplicar cada resultado por . Isso nos dará cada elemento da matriz.

Passo 5

Vamos calcular , e :

Passo 6

Agora, vamos multiplicar cada por para obter cada coluna da matriz :

Passo 7

Vamos distribuir a multiplicação:
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos organizar os termos na forma de matriz, onde as linhas correspondem aos e as colunas a :

Passo 9

Para verificar se a matriz é hermitiana, lembramos que uma matriz é hermitiana se , ou seja, se ela for igual à sua conjugada transposta. Vamos encontrar a conjugada transposta de :
Comparando com , vemos que eles não são iguais:

Resposta

A matriz do operador na base dada é:
Essa matriz não é hermitiana.

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Considere um espaço vetorial tridimensional gerado por uma base ortonormal . Os kets e são dados por:
Calcule e e confirme que .
Considere um espaço vetorial tridimensional gerado por uma base ortonormal . Os kets e são dados por:
Monte e nos termos da base dual .
Considere os vetores L.I. da base , onde:
Encontre uma base ortonormal a partir dos vetores .
Considere .
Encontre o adjunto do operador .