Considere um espaço vetorial tridimensional gerado por uma base ortonormal |1rang<=,|2rang<=,|3rang<=. Os kets |alpharang<= e |betarang<= são dados por:
|alpharang<==i|1rang<=-|2rang<=-i|3rang<= ;|betarang<==i|1rang<=+2|3rang<=
Calcule os nove elementos de matriz do operador |alpharang<=lang<=beta| nos termos dessa base e monte a matriz A. Ela é hermitiana?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está trabalhando com espaços vetoriais tridimensionais e operadores lineares. O que precisamos fazer aqui é calcular os nove elementos da matriz do operador na base ortonormal e montar a matriz . Depois, vamos verificar se essa matriz é hermitiana. Para isso, vamos precisar entender como multiplicar vetores e usar produtos internos em espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o operador . Esse operador é formado pelo produto externo dos vetores e . Em termos mais simples, ele transforma qualquer vetor do espaço aplicando certos coeficientes que derivam desses dois vetores.

Passo 3

Vamos anotar os vetores dados:
|alpharang<= = i|1rang<= - |2rang<= - i|3rang<=
|betarang<= = i|1rang<= + 2|3rang<=

Passo 4

Para encontrar a matriz do operador , precisamos calcular todos os produtos para e multiplicar cada resultado por . Isso nos dará cada elemento da matriz.

Passo 5

Vamos calcular lang<= 1|betarang<= = lang<= 1| (i|1rang<= + 2|3rang<=) = i lang<= 1|1rang<= + 2 lang<= 1|3rang<= = i cdot 1 + 2 cdot 0 = i , lang<= 2|betarang<= = lang<= 2| (i|1rang<= + 2|3rang<=) = i lang<= 2|1rang<= + 2 lang<= 2|3rang<= = i cdot 0 + 2 cdot 0 = 0 e lang<= 3|betarang<= = lang<= 3| (i|1rang<= + 2|3rang<=) = i lang<= 3|1rang<= + 2 lang<= 3|3rang<= = i cdot 0 + 2 cdot 1 = 2 :

Passo 6

Agora, vamos multiplicar cada A = |alpharang<=lang<=beta| = |alpharang<= lang<= 1|betarang<= & lang<= 2|betarang<= & lang<= 3|betarang<= por A = i|1rang<= - |2rang<= - i|3rang<= i & 0 & 2 para obter cada coluna da matriz :

Passo 7

Vamos distribuir a multiplicação:
A = i cdot i |1rang<=lang<= 1| - i cdot |2rang<=lang<= 1| - i cdot i |3rang<=lang<= 1| + 0 cdot i |1rang<=lang<= 2| - 0 cdot |2rang<=lang<= 2| - 0 cdot i |3rang<=lang<= 2| + 2 cdot i |1rang<=lang<= 3| - 2 cdot |2rang<=lang<= 3| - 2 cdot i |3rang<=lang<= 3|
Simplificando:
A = -|1rang<=lang<= 1| - i|2rang<=lang<= 1| + |3rang<=lang<= 1| + 2i|1rang<=lang<= 3| - 2|2rang<=lang<= 3| - 2i|3rang<=lang<= 3|

Passo 8

Agora, vamos organizar os termos na forma de matriz, onde as linhas correspondem aos A = -1 & 0 & 2i -i & 0 & -2 1 & 0 & -2i e as colunas a :

Passo 9

Para verificar se a matriz A^dag>=r = -1 & i & 1 0 & 0 & 0 -2i & -2 & 2i é hermitiana, lembramos que uma matriz A neq A^dag>=r é hermitiana se , ou seja, se ela for igual à sua conjugada transposta. Vamos encontrar a conjugada transposta de :
Comparando com , vemos que eles não são iguais:

Resposta

A matriz A = -1 & 0 & 2i -i & 0 & -2 1 & 0 & -2i do operador na base dada é:
Essa matriz não é hermitiana.

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