Considere um espaço vetorial tridimensional gerado por uma base ortonormal . Os kets e são dados por:
Calcule os nove elementos de matriz do operador nos termos dessa base e monte a matriz . Ela é hermitiana?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está trabalhando com espaços vetoriais tridimensionais e operadores lineares. O que precisamos fazer aqui é calcular os nove elementos da matriz do operador na base ortonormal e montar a matriz . Depois, vamos verificar se essa matriz é hermitiana. Para isso, vamos precisar entender como multiplicar vetores e usar produtos internos em espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o operador . Esse operador é formado pelo produto externo dos vetores e . Em termos mais simples, ele transforma qualquer vetor do espaço aplicando certos coeficientes que derivam desses dois vetores.
Passo 3
Vamos anotar os vetores dados:
Passo 4
Para encontrar a matriz do operador , precisamos calcular todos os produtos para e multiplicar cada resultado por . Isso nos dará cada elemento da matriz.
Passo 5
Vamos calcular , e :
Passo 6
Agora, vamos multiplicar cada por para obter cada coluna da matriz :
Passo 7
Vamos distribuir a multiplicação:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos organizar os termos na forma de matriz, onde as linhas correspondem aos e as colunas a :
Passo 9
Para verificar se a matriz é hermitiana, lembramos que uma matriz é hermitiana se , ou seja, se ela for igual à sua conjugada transposta. Vamos encontrar a conjugada transposta de :