Considere os vetores L.I. da base , onde:
Encontre uma base ortonormal a partir dos vetores .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos três vetores lineares independentes na base :
Nosso objetivo é encontrar uma nova base ortonormal a partir desses vetores. Isso significa que queremos três vetores que sejam perpendiculares entre si e que tenham comprimento 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base ortonormal. Ortonormal significa que os vetores são ortogonais (perpendiculares) e normalizados (cada vetor tem comprimento igual a 1). Para transformar nossos vetores dados em uma base ortonormal, vamos usar o Processo de Gram-Schmidt. Esse método pega um conjunto de vetores e os transforma em um conjunto ortogonal, e depois normaliza cada vetor.

Passo 3

Começamos aplicando o Processo de Gram-Schmidt. Nosso primeiro passo é normalizar o primeiro vetor para obter .
Primeiro, calculamos o comprimento (norma) de :
Então, normalizamos :

Passo 4

Agora, vamos encontrar . Primeiro, projetamos sobre para remover a componente na direção de .
A projeção de sobre é dada por:
Calculando o produto interno:
Então,
Agora, subtraímos essa projeção de para obter o vetor ortogonal:
Simplificando:
Agora, normalizamos para obter :
Primeiro, calculamos a norma de :
Então,

Passo 5

Finalmente, vamos encontrar . Primeiro, projetamos sobre e para remover as componentes nessas direções.
Primeiro, calculamos a projeção de sobre :
Agora, projetamos sobre :
Agora, subtraímos essas projeções de para obter o vetor ortogonal:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Calculando cada componente:
Para :
Para :
Para :
Então,
Agora, normalizamos para obter :
Calculando a norma de :
Então,

Resposta

A base ortonormal obtida a partir dos vetores , , e é:
Esses três vetores formam uma base ortonormal, ou seja, são mutuamente perpendiculares e cada um tem comprimento igual a 1.

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Considere .
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