Considere os vetores L.I. da base |Irang<=,|I Irang<=,|I I Irang<=, onde:
|Irang<==i+j+2 k |I Irang<==-i+j-k |I I Irang<==2 i+k
Encontre uma base ortonormal |1rang<=,|2rang<=,|3rang<= a partir dos vetores |Irang<=,|I Irang<=,|I I Irang<=.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos três vetores lineares independentes na base |Irang<= = i + j + 2k |IIrang<= = -i + j - k |IIIrang<= = 2i + k :
Nosso objetivo é encontrar uma nova base ortonormal a partir desses vetores. Isso significa que queremos três vetores que sejam perpendiculares entre si e que tenham comprimento 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base ortonormal. Ortonormal significa que os vetores são ortogonais (perpendiculares) e normalizados (cada vetor tem comprimento igual a 1). Para transformar nossos vetores dados em uma base ortonormal, vamos usar o Processo de Gram-Schmidt. Esse método pega um conjunto de vetores e os transforma em um conjunto ortogonal, e depois normaliza cada vetor.

Passo 3

Começamos aplicando o Processo de Gram-Schmidt. Nosso primeiro passo é normalizar o primeiro vetor | |Irang<= | = raiz1^2 + 1^2 + 2^2 = raiz1 + 1 + 4 = raiz6 para obter |1rang<= = |Irang<=| |Irang<= | = 1raiz6 (i + j + 2k) .
Primeiro, calculamos o comprimento (norma) de :
Então, normalizamos :

Passo 4

Agora, vamos encontrar Proj|1rang<= |IIrang<= = ( |IIrang<= cdot |1rang<=|1rang<= cdot |1rang<= ) |1rang<= . Primeiro, projetamos |IIrang<= cdot |1rang<= = (-1)(1raiz6) + (1)(1raiz6) + (-1)(2raiz6) = -1 + 1 - 2raiz6 = -2raiz6 sobre Proj|1rang<= |IIrang<= = -2raiz6 cdot 1raiz6 (i + j + 2k) = -26 (i + j + 2k) = -13 (i + j + 2k) para remover a componente na direção de |II'rang<= = |IIrang<= - Proj|1rang<= |IIrang<= = (-i + j - k) - ( -13 i + -13 j + -23 k ) .
A projeção de |II'rang<= = -i + j - k + 13 i + 13 j + 23 k = (-1 + 13)i + (1 + 13)j + (-1 + 23)k = -23i + 43j - 13k sobre | |II'rang<= | = raiz(-23)^2 + (43)^2 + (-13)^2 = raiz49 + 169 + 19 = raiz219 = raiz73 = raiz213 é dada por:
|2rang<= = |II'rang<=| |II'rang<= | = 1raiz213 (-23i + 43j - 13k) = 3raiz21 (-23i + 43j - 13k) = -2raiz21i + 4raiz21j - 1raiz21k
Calculando o produto interno:
Então,
Agora, subtraímos essa projeção de para obter o vetor ortogonal:
Simplificando:
Agora, normalizamos para obter :
Primeiro, calculamos a norma de :
Então,

Passo 5

Finalmente, vamos encontrar |IIIrang<= cdot |1rang<= = (2)(1raiz6) + (0)(1raiz6) + (1)(2raiz6) = 2 + 0 + 2raiz6 = 4raiz6 . Primeiro, projetamos Proj|1rang<= |IIIrang<= = 4raiz6 cdot 1raiz6 (i + j + 2k) = 46 (i + j + 2k) = 23 (i + j + 2k) sobre |IIIrang<= cdot |2rang<= = (2)(-2raiz21) + (0)(4raiz21) + (1)(-1raiz21) = -4 + 0 -1raiz21 = -5raiz21 e Proj|2rang<= |IIIrang<= = -5raiz21 cdot -2raiz21 i + -5raiz21 cdot 4raiz21 j + -5raiz21 cdot -1raiz21 k = 1021 i + -2021 j + 521 k para remover as componentes nessas direções.
Primeiro, calculamos a projeção de |III'rang<= = |IIIrang<= - Proj|1rang<= |IIIrang<= - Proj|2rang<= |IIIrang<= sobre |III'rang<= = (2i + k) - (23 i + 23 j + 43 k) - (1021 i - 2021 j + 521 k) :
|III'rang<= = 2i + 0j + k - 23i - 23j - 43k - 1021i + 2021j - 521k
2 - 23 - 1021 = 4221 - 1421 - 1021 = 1821 = 67
Agora, projetamos 0 - 23 + 2021 = -1421 + 2021 = 621 = 27 sobre 1 - 43 - 521 = 2121 - 2821 - 521 = -1221 = -47 :
|III'rang<= = 67i + 27j - 47k
| |III'rang<= | = raiz(67)^2 + (27)^2 + (-47)^2 = raiz3649 + 449 + 1649 = raiz5649 = raiz87 = 2raiz147
Agora, subtraímos essas projeções de |3rang<= = |III'rang<=| |III'rang<= | = 12raiz147 (67i + 27j - 47k) = 72raiz14 (67i + 27j - 47k) = 3raiz14 i + 1raiz14 j - 2raiz14 k para obter o vetor ortogonal:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Calculando cada componente:
Para :
Para :
Para :
Então,
Agora, normalizamos para obter :
Calculando a norma de :
Então,

Resposta

A base ortonormal obtida a partir dos vetores |1rang<= &= 1raiz6 (i + j + 2k) |2rang<= &= -2raiz21 i + 4raiz21 j - 1raiz21 k |3rang<= &= 3raiz14 i + 1raiz14 j - 2raiz14 k , , e é:
Esses três vetores formam uma base ortonormal, ou seja, são mutuamente perpendiculares e cada um tem comprimento igual a 1.

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