Considere os vetores L.I. da base
, onde:
Encontre uma base ortonormal
a partir dos vetores
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos três vetores lineares independentes na base
:
Nosso objetivo é encontrar uma nova base ortonormal
a partir desses vetores. Isso significa que queremos três vetores que sejam perpendiculares entre si e que tenham comprimento 1.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base ortonormal. Ortonormal significa que os vetores são ortogonais (perpendiculares) e normalizados (cada vetor tem comprimento igual a 1). Para transformar nossos vetores dados em uma base ortonormal, vamos usar o Processo de Gram-Schmidt. Esse método pega um conjunto de vetores e os transforma em um conjunto ortogonal, e depois normaliza cada vetor.
Passo 3
Começamos aplicando o Processo de Gram-Schmidt. Nosso primeiro passo é normalizar o primeiro vetor
para obter
.
Primeiro, calculamos o comprimento (norma) de
:
Então, normalizamos
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar
. Primeiro, projetamos
sobre
para remover a componente na direção de
.
A projeção de
sobre
é dada por:
Calculando o produto interno:
Então,
Agora, subtraímos essa projeção de
para obter o vetor ortogonal:
Simplificando:
Agora, normalizamos
para obter
:
Primeiro, calculamos a norma de
:
Então,
Passo 5
Finalmente, vamos encontrar
. Primeiro, projetamos
sobre
e
para remover as componentes nessas direções.
Primeiro, calculamos a projeção de
sobre
:
Agora, projetamos
sobre
:
Agora, subtraímos essas projeções de
para obter o vetor ortogonal:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Calculando cada componente:
Para
:
Para
:
Para
:
Então,
Agora, normalizamos
para obter
:
Calculando a norma de
:
Então,
Resposta
A base ortonormal obtida a partir dos vetores
,
, e
é:
Esses três vetores formam uma base ortonormal, ou seja, são mutuamente perpendiculares e cada um tem comprimento igual a 1.
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e
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e
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Calcule
e
e confirme que
.
Considere
.
Encontre o adjunto do operador .
Encontre o adjunto do operador
Considere
.
Verifique se é unitário.
Verifique se