Considere o espaço vetorial V=f:[a, b] R ; f é contínua sobre R munido com o seguinte produto:
lang<= f1, f2rang<==integrala^b f1(t) f2(t) d t, forall f1, f2 in V
c) (1,0 ponto) Determine o ângulo theta entre t e t^2 quando a=-1 e b=1. Nesse caso, o subconjunto B=1, t, t^2 de V é ortogonal em V?

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: Temos o espaço vetorial lang<= f1, f2 rang<= = integral-1^1 f1(t) f2(t) dt éí com um produto interno definido por:
Queremos determinar o ângulo entre as funções e neste espaço, e verificar se o conjunto é ortogonal.
Para resolver, vamos precisar entender conceitos de produto interno, norma e cálculo do ângulo entre vetores em um espaço com produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o ângulo entre dois “vetores” em um espaço com produto interno. A fórmula geral para o cosseno do ângulo costheta = lang<= f, g rang<=|f| cdot |g| entre dois vetores e é:
Onde é a norma de .

Passo 3

Vamos calcular o produto interno lang<= t, t^2 rang<= = integral-1^1 t cdot t^2 dt = integral-1^1 t^3 dt :
Sabemos que a integral de uma função ímpar (como ) sobre um intervalo simétrico em torno de zero é zero. Portanto, .

Passo 4

Agora, vamos calcular as normas de |t| = raizlang<= t, t rang<= = raizintegral-1^1 t^2 dt = raiz[ t^33 ]-1^1 = raiz13 - (-13) = raiz23 = raiz23 e |t^2| = raizlang<= t^2, t^2 rang<= = raizintegral-1^1 t^4 dt = raiz[ t^55 ]-1^1 = raiz15 - (-15) = raiz25 = raiz25 :

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula do cosseno do ângulo:
costheta = lang<= t, t^2 rang<=|t| cdot |t^2| = 0raiz23 cdot raiz25 = 0
Isso implica que .

Resposta

O ângulo entre as funções e é . Além disso, o conjunto é ortogonal no espaço .

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