Considere o espaço vetorial é contínua sobre munido com o seguinte produto:
c) (1,0 ponto) Determine o ângulo entre e quando e . Nesse caso, o subconjunto de é ortogonal em V?

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: Temos o espaço vetorial éí com um produto interno definido por:
Queremos determinar o ângulo entre as funções e neste espaço, e verificar se o conjunto é ortogonal.
Para resolver, vamos precisar entender conceitos de produto interno, norma e cálculo do ângulo entre vetores em um espaço com produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o ângulo entre dois “vetores” em um espaço com produto interno. A fórmula geral para o cosseno do ângulo entre dois vetores e é:
Onde é a norma de .

Passo 3

Vamos calcular o produto interno :
Sabemos que a integral de uma função ímpar (como ) sobre um intervalo simétrico em torno de zero é zero. Portanto, .

Passo 4

Agora, vamos calcular as normas de e :

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula do cosseno do ângulo:
Isso implica que .

Resposta

O ângulo entre as funções e é . Além disso, o conjunto é ortogonal no espaço .

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Considere os vetores e do . Determine vetores não nulos tais que:
a) (1,0 ponto) O conjunto seja LI .
Sejam e subconjuntos do .
b) (1,0 ponto) Determine e exiba uma base?
Considere o espaço vetorial é contínua sobre munido com o seguinte produto:
a) (1,5 pontos) Fazendo , mostre que o produto é um produto interno.
Determine o maior valor inteiro de para que a equação seja de uma circunferência.