Considere o espaço vetorial
é contínua
sobre
munido com o seguinte produto:
c) (1,0 ponto) Determine o ângulo
entre
e
quando
e
. Nesse caso, o subconjunto
de
é ortogonal em V?
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: Temos o espaço vetorial
com um produto interno definido por:
Queremos determinar o ângulo
entre as funções
e
neste espaço, e verificar se o conjunto
é ortogonal.
Para resolver, vamos precisar entender conceitos de produto interno, norma e cálculo do ângulo entre vetores em um espaço com produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o ângulo entre dois “vetores” em um espaço com produto interno. A fórmula geral para o cosseno do ângulo
entre dois vetores
e
é:
Onde
é a norma de
.
Passo 3
Vamos calcular o produto interno
:
Sabemos que a integral de uma função ímpar (como
) sobre um intervalo simétrico em torno de zero é zero. Portanto,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular as normas de
e
:
Passo 5
Agora, aplicando a fórmula do cosseno do ângulo:
Isso implica que
.
Resposta
O ângulo
entre as funções
e
é
. Além disso, o conjunto
é ortogonal no espaço
.
Exercícios relacionados
Considere os vetores
e
do
. Determine vetores
não nulos tais que:
a) (1,0 ponto) O conjunto seja LI .
a) (1,0 ponto) O conjunto
Sejam
e
subconjuntos do
.
b) (1,0 ponto) Determine e exiba uma base?
b) (1,0 ponto) Determine
Considere o espaço vetorial
é contínua
sobre
munido com o seguinte produto:
a) (1,5 pontos) Fazendo
, mostre que o produto
é um produto interno.
Determine o maior valor inteiro de
para que a equação
seja de uma circunferência.