Sejam
e
subconjuntos do
.
b) (1,0 ponto) Determine
e exiba uma base?
b) (1,0 ponto) Determine
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a interseção entre dois conjuntos
e
no espaço tridimensional
. Estamos trabalhando com álgebra linear, mais especificamente com subespaços vetoriais e bases. Para resolver isso, vamos precisar identificar quais vetores pertencem aos dois conjuntos ao mesmo tempo e, depois, encontrar uma base para esse conjunto de vetores comuns.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada conjunto representa:
-
: Esse conjunto contém todos os vetores onde a coordenada é zero. Ou seja, é o plano XY. -
: Aqui, a coordenada é a soma de e . Este é um plano inclinado no espaço tridimensional.
Passo 3
Para encontrar
, precisamos achar os vetores que estão nos dois conjuntos ao mesmo tempo. Ou seja, queremos vetores que satisfazem ambas as condições:
Como
é igual a zero no conjunto
, podemos substituir na segunda equação:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos expressar
em termos de
:
Então, os vetores na interseção
têm a forma:
Podemos fatorar o
para escrever de forma mais simples:
Isso mostra que todos os vetores na interseção são múltiplos escalares do vetor
.
Resposta
A interseção
é o conjunto de todos os vetores
onde
é um número real. Uma base para
é o vetor
.