Sejam U=(x, y, z) in R^3 ; z=0 e W=(x, y, z) in R^3 ; z=x+y subconjuntos do R^3.
b) (1,0 ponto) Determine U cap W e exiba uma base?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a interseção entre dois conjuntos e no espaço tridimensional . Estamos trabalhando com álgebra linear, mais especificamente com subespaços vetoriais e bases. Para resolver isso, vamos precisar identificar quais vetores pertencem aos dois conjuntos ao mesmo tempo e, depois, encontrar uma base para esse conjunto de vetores comuns.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada conjunto representa:
  • : Esse conjunto contém todos os vetores onde a coordenada é zero. Ou seja, é o plano XY.
  • : Aqui, a coordenada é a soma de e . Este é um plano inclinado no espaço tridimensional.

Passo 3

Para encontrar z = 0 e z = x + y , precisamos achar os vetores que estão nos dois conjuntos ao mesmo tempo. Ou seja, queremos vetores que satisfazem ambas as condições:
0 = x + y
Como x + y = 0 é igual a zero no conjunto , podemos substituir na segunda equação:
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos expressar y = -x em termos de (x, -x, 0) :
x cdot (1, -1, 0)
Então, os vetores na interseção têm a forma:
Podemos fatorar o para escrever de forma mais simples:
Isso mostra que todos os vetores na interseção são múltiplos escalares do vetor .

Resposta

A interseção é o conjunto de todos os vetores onde é um número real. Uma base para é o vetor .

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