Considere os vetores e do . Determine vetores não nulos tais que: a) (1,0 ponto) O conjunto seja LI .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrarmos vetores e não nulos no espaço tridimensional de forma que o conjunto seja linearmente independente (LI). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre independência linear de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que um conjunto de vetores seja linearmente independente. Basicamente, isso quer dizer que nenhum dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. No nosso caso, queremos que não seja uma combinação de e .

Passo 3

Os vetores dados são: Queremos encontrar um vetor tal que não exista escalares e que satisfaçam:

Passo 4

Para garantir que não seja uma combinação linear de e , podemos escolher um vetor que não esteja no plano formado por e . Uma maneira simples de fazer isso é escolher um vetor que não satisfaça a equação acima para nenhum e .

Passo 5

Vamos escolher e verificar se ele pode ser escrito como combinação de e . Suponha que: Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 6

Resolvendo o sistema: Da segunda equação, implica . Substituindo em , temos . Mas então, na terceira equação, , o que é uma contradição.

Passo 7

Como chegamos a uma contradição, isso significa que não existem e que satisfazem as equações. Portanto, o vetor não pode ser escrito como combinação linear de e , garantindo que seja um conjunto linearmente independente.

Resposta

Um vetor que satisfaz a condição é . Portanto, o conjunto é linearmente independente.

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