Considere o espaço vetorial
é contínua
sobre
munido com o seguinte produto:
a) (1,5 pontos) Fazendo
, mostre que o produto
é um produto interno.
Passo 1
Então, a gente tem um espaço vetorial
que consiste em todas as funções contínuas de
para
. O produto que vamos usar é definido por:
A questão pede para mostrar que esse produto é, de fato, um produto interno quando
. Para isso, vamos precisar entender o que é um produto interno e verificar se as propriedades dele são satisfeitas nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um produto interno. Um produto interno em um espaço vetorial precisa satisfazer quatro propriedades:
- Linearidade na primeira componente:
- Simetria:
- Positividade:
- Definido positivo:
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o produto definido, assumindo que
.
Passo 3
1. Linearidade na primeira componente:
Vamos considerar duas funções
e dois escalares
. Calculamos:
Usando a propriedade distributiva da integral:
Então, a linearidade na primeira componente está satisfeita.
Passo 4
2. Simetria:
Vamos verificar se
:
Como a multiplicação de números reais é comutativa (
), temos que:
Portanto, a simetria está satisfeita.
Passo 5
3. Positividade:
Precisamos mostrar que
para toda
:
Como
para todo
, a integral de uma função não negativa também é não negativa. Logo:
Isso confirma a propriedade de positividade.
Passo 6
4. Definido positivo:
Precisamos mostrar que se
, então
é a função nula. Se:
Sabemos que a integral de uma função não negativa sendo zero implica que
para todo
, ou seja,
para todo
. Portanto,
é a função nula:
Isso confirma que a propriedade definido positiva está satisfeita.
Resposta
Assim, verificamos que todas as propriedades de um produto interno são satisfeitas quando
. Portanto, o produto definido por
é, de fato, um produto interno no espaço vetorial
.
Exercícios relacionados
Considere o espaço vetorial
é contínua
sobre
munido com o seguinte produto:
c) (1,0 ponto) Determine o ângulo
entre
e
quando
e
. Nesse caso, o subconjunto
de
é ortogonal em V?
Considere os vetores
e
do
. Determine vetores
não nulos tais que:
a) (1,0 ponto) O conjunto seja LI .
a) (1,0 ponto) O conjunto
Determine o maior valor inteiro de
para que a equação
seja de uma circunferência.
Considere os vetores
e
do
. Determine vetores
não nulos tais que:
c) (1,0 ponto) Encontre a equação do subespaço gerado por e
.
c) (1,0 ponto) Encontre a equação do subespaço gerado por