Considere o espaço vetorial é contínua sobre munido com o seguinte produto:
a) (1,5 pontos) Fazendo , mostre que o produto é um produto interno.

Passo 1

Então, a gente tem um espaço vetorial que consiste em todas as funções contínuas de para . O produto que vamos usar é definido por:
A questão pede para mostrar que esse produto é, de fato, um produto interno quando . Para isso, vamos precisar entender o que é um produto interno e verificar se as propriedades dele são satisfeitas nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um produto interno. Um produto interno em um espaço vetorial precisa satisfazer quatro propriedades:
  1. Linearidade na primeira componente:
  1. Simetria:
  1. Positividade:
  1. Definido positivo:
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o produto definido, assumindo que .

Passo 3

1. Linearidade na primeira componente:
Vamos considerar duas funções e dois escalares . Calculamos:
Usando a propriedade distributiva da integral:
Então, a linearidade na primeira componente está satisfeita.

Passo 4

2. Simetria:
Vamos verificar se :
Como a multiplicação de números reais é comutativa ( ), temos que:
Portanto, a simetria está satisfeita.

Passo 5

3. Positividade:
Precisamos mostrar que para toda :
Como para todo , a integral de uma função não negativa também é não negativa. Logo:
Isso confirma a propriedade de positividade.

Passo 6

4. Definido positivo:
Precisamos mostrar que se , então é a função nula. Se:
Sabemos que a integral de uma função não negativa sendo zero implica que para todo , ou seja, para todo . Portanto, é a função nula:
Isso confirma que a propriedade definido positiva está satisfeita.

Resposta

Assim, verificamos que todas as propriedades de um produto interno são satisfeitas quando . Portanto, o produto definido por
é, de fato, um produto interno no espaço vetorial .

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Considere o espaço vetorial é contínua sobre munido com o seguinte produto:
c) (1,0 ponto) Determine o ângulo entre e quando e . Nesse caso, o subconjunto de é ortogonal em V?
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a) (1,0 ponto) O conjunto seja LI .
Determine o maior valor inteiro de para que a equação seja de uma circunferência.
Considere os vetores e do . Determine vetores não nulos tais que:
c) (1,0 ponto) Encontre a equação do subespaço gerado por e .