Considere o espaço vetorial V=f:[a, b] R ; f é contínua sobre R munido com o seguinte produto:
lang<= f1, f2rang<==integrala^b f1(t) f2(t) d t, forall f1, f2 in V
a) (1,5 pontos) Fazendo a=-b, mostre que o produto lang<= f1, f2rang<= é um produto interno.

Passo 1

Então, a gente tem um espaço vetorial lang<= f1, f2rang<= = integrala^b f1(t) f2(t) dt que consiste em todas as funções contínuas de para . O produto que vamos usar é definido por:
A questão pede para mostrar que esse produto é, de fato, um produto interno quando . Para isso, vamos precisar entender o que é um produto interno e verificar se as propriedades dele são satisfeitas nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um produto interno. Um produto interno em um espaço vetorial precisa satisfazer quatro propriedades:
  1. Linearidade na primeira componente:
lang<= alpha f + beta g, h rang<= = alpha lang<= f, h rang<= + beta lang<= g, h rang<=
  1. Simetria:
lang<= f, g rang<= = lang<= g, f rang<=
  1. Positividade:
lang<= f, f rang<= >= 0
  1. Definido positivo:
lang<= f, f rang<= = 0 Rightarrow f = 0
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o produto definido, assumindo que .

Passo 3

1. Linearidade na primeira componente:
Vamos considerar duas funções lang<= alpha f + beta g, h rang<= = integral-b^b (alpha f(t) + beta g(t)) h(t) dt e dois escalares = alpha integral-b^b f(t) h(t) dt + beta integral-b^b g(t) h(t) dt . Calculamos:
= alpha lang<= f, h rang<= + beta lang<= g, h rang<=
Usando a propriedade distributiva da integral:
Então, a linearidade na primeira componente está satisfeita.

Passo 4

2. Simetria:
Vamos verificar se lang<= f, g rang<= = integral-b^b f(t) g(t) dt :
lang<= g, f rang<= = integral-b^b g(t) f(t) dt
lang<= f, g rang<= = lang<= g, f rang<=
Como a multiplicação de números reais é comutativa ( ), temos que:
Portanto, a simetria está satisfeita.

Passo 5

3. Positividade:
Precisamos mostrar que lang<= f, f rang<= = integral-b^b f(t)^2 dt para toda lang<= f, f rang<= >= 0 :
Como para todo , a integral de uma função não negativa também é não negativa. Logo:
Isso confirma a propriedade de positividade.

Passo 6

4. Definido positivo:
Precisamos mostrar que se integral-b^b f(t)^2 dt = 0 , então f(t) = 0, forall t in [-b, b] é a função nula. Se:
Sabemos que a integral de uma função não negativa sendo zero implica que para todo , ou seja, para todo . Portanto, é a função nula:
Isso confirma que a propriedade definido positiva está satisfeita.

Resposta

Assim, verificamos que todas as propriedades de um produto interno são satisfeitas quando lang<= f1, f2rang<= = integral-b^b f1(t) f2(t) dt . Portanto, o produto definido por
é, de fato, um produto interno no espaço vetorial .

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