Considere o espaço vetorial com as operações clássicas de adição e multiplicação por escalar. Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços de .
(a) .
(b) .
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para verificar se dois conjuntos de matrizes são subespaços de , o espaço das matrizes 2x2 com entradas reais. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são os critérios para que um conjunto seja considerado um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o conjunto . Esse conjunto consiste em todas as matrizes 2x2 que são simétricas, ou seja, onde o elemento na posição é igual ao elemento na posição .
Passo 3
Para verificar se é um subespaço, precisamos checar três propriedades:
Contém o vetor zero: A matriz nula é simétrica, pois . Logo, .
Fechado sob adição: Se , então também será simétrica, pois .
Fechado sob multiplicação por escalar: Se e é um escalar real, então também será simétrica, pois .
Como todas as três propriedades são satisfeitas, é um subespaço de .
Passo 4
Agora, vamos analisar o conjunto . Esse conjunto inclui todas as matrizes 2x2 que possuem determinante igual a zero, ou seja, são matrizes singulares.
Passo 5
Para verificar se é um subespaço, vamos checar as mesmas três propriedades:
Contém o vetor zero: A matriz nula tem determinante zero, então .
Fechado sob adição: Suponha que . Ou seja, e . No entanto, nem sempre será zero. Por exemplo, considere:
Ambas têm determinante zero, mas que tem determinante 1, diferente de zero. Assim, não é fechado sob adição.
Fechado sob multiplicação por escalar: Embora já tenhamos visto que não é fechado sob adição, por completude, vamos verificar a multiplicação por escalar. Se e é real, então . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.
Apesar de satisfazer duas das três propriedades, a falta de fechamento sob adição impede que seja um subespaço.