Mostre que
é um subespaço vetorial de
. Mostre que a aplicação
define um produto interno em
.
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um conjunto
que consiste em polinômios de grau no máximo 3, ou seja,
. A primeira parte do exercício pede para mostrarmos que
é um subespaço vetorial de
. A segunda parte nos pede para demonstrar que a aplicação definida por
é um produto interno em
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de espaços vetoriais, subespaços, e produtos internos. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que
é um subespaço vetorial de
. Para isso, precisamos verificar três propriedades:
- O conjunto
não está vazio. - Fechamento sob adição: se
e estão em , então também está em . - Fechamento sob multiplicação por escalar: se
está em e é um escalar real, então também está em .
Vamos verificar cada uma delas.
Passo 3
1.
não está vazio:
O polinômio zero,
, pertence a
. Vamos verificar se ele está em
:
Como
para todo
, essas igualdades são satisfeitas. Portanto,
não está vazio.
Passo 4
2. Fechamento sob adição:
Sejam
e
pertencentes a
. Isso significa que:
Vamos verificar se
também pertence a
:
Portanto,
satisfaz as condições para estar em
, mostrando que
é fechado sob adição.
Passo 5
3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Seja
pertencente a
e
um número real. Então:
Vamos verificar se
também pertence a
:
Assim,
também satisfaz as condições para estar em
, mostrando que
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 6
Como verificamos que
não está vazio, e que é fechado sob adição e multiplicação por escalar, podemos concluir que
é, de fato, um subespaço vetorial de
.
Passo 7
Agora, vamos mostrar que a aplicação definida por
para todos
, é um produto interno em
. Para isso, precisamos verificar se essa aplicação satisfaz as propriedades de um produto interno:
- Linearidade na primeira variável:
para escalares . - Simetria:
. - Positividade:
, e se e somente se .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades.
Passo 8
1. Linearidade na primeira variável:
Sejam
,
, e
em
, e
,
números reais. Então:
Portanto, a aplicação é linear na primeira variável.
Passo 9
2. Simetria:
Queremos mostrar que
. De fato:
A ordem dos fatores não altera o produto, então a aplicação é simétrica.
Passo 10
3. Positividade:
Vamos verificar se
e se
implica que
.
Calculando
:
Como
é sempre maior ou igual a zero para todo
, a integral também será maior ou igual a zero:
Agora, suponha que
:
Para a integral de uma função não negativa ser zero, a função deve ser zero em todo o intervalo:
Integrando
, obtemos:
Onde
é uma constante. Agora, como
:
Portanto,
e
para todo
. Assim,
implica que
.
Passo 11
Como a aplicação
satisfaz as propriedades de linearidade na primeira variável, simetria e positividade, ela define um produto interno em
.
Resposta
Concluímos que
é um subespaço vetorial de
e que a aplicação
define um produto interno em
.