Mostre que U=p(x) in P3(R): p(-1)=p(1)=0 é um subespaço vetorial de P3(R). Mostre que a aplicação
lang<= p, qrang<==integral-1^1 p^prime(x) q^prime(x) d x ; forall p, q in U
define um produto interno em U.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um conjunto lang<= p, qrang<= = integral-1^1 p^prime(x) q^prime(x) , dx ; forall p, q in U que consiste em polinômios de grau no máximo 3, ou seja, . A primeira parte do exercício pede para mostrarmos que é um subespaço vetorial de . A segunda parte nos pede para demonstrar que a aplicação definida por
é um produto interno em . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de espaços vetoriais, subespaços, e produtos internos. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que é um subespaço vetorial de . Para isso, precisamos verificar três propriedades:
  1. O conjunto não está vazio.
  2. Fechamento sob adição: se e estão em , então também está em .
  3. Fechamento sob multiplicação por escalar: se está em e é um escalar real, então também está em .
Vamos verificar cada uma delas.

Passo 3

1. p(-1) = 0 e p(1) = 0 não está vazio:
O polinômio zero, , pertence a . Vamos verificar se ele está em :
Como para todo , essas igualdades são satisfeitas. Portanto, não está vazio.

Passo 4

2. Fechamento sob adição:
Sejam p(-1) = 0 e p(1) = 0 e q(-1) = 0 e q(1) = 0 pertencentes a (p + q)(-1) = p(-1) + q(-1) = 0 + 0 = 0 . Isso significa que:
(p + q)(1) = p(1) + q(1) = 0 + 0 = 0
Vamos verificar se também pertence a :
Portanto, satisfaz as condições para estar em , mostrando que é fechado sob adição.

Passo 5

3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Seja p(-1) = 0 e p(1) = 0 pertencente a (c cdot p)(-1) = c cdot p(-1) = c cdot 0 = 0 e (c cdot p)(1) = c cdot p(1) = c cdot 0 = 0 um número real. Então:
Vamos verificar se também pertence a :
Assim, também satisfaz as condições para estar em , mostrando que é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 6

Como verificamos que não está vazio, e que é fechado sob adição e multiplicação por escalar, podemos concluir que é, de fato, um subespaço vetorial de .

Passo 7

Agora, vamos mostrar que a aplicação definida por
lang<= p, qrang<= = integral-1^1 p^prime(x) q^prime(x) , dx
para todos , é um produto interno em . Para isso, precisamos verificar se essa aplicação satisfaz as propriedades de um produto interno:
  1. Linearidade na primeira variável: para escalares .
  2. Simetria: .
  3. Positividade: , e se e somente se .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades.

Passo 8

1. Linearidade na primeira variável:
Sejam lang<= a p + b q, r rang<= = integral-1^1 (a p'(x) + b q'(x)) r'(x) , dx = a integral-1^1 p'(x) r'(x) , dx + b integral-1^1 q'(x) r'(x) , dx = a lang<= p, r rang<= + b lang<= q, r rang<= , , e em , e , números reais. Então:
Portanto, a aplicação é linear na primeira variável.

Passo 9

2. Simetria:
Queremos mostrar que lang<= p, q rang<= = integral-1^1 p'(x) q'(x) , dx = integral-1^1 q'(x) p'(x) , dx = lang<= q, p rang<= . De fato:
A ordem dos fatores não altera o produto, então a aplicação é simétrica.

Passo 10

3. Positividade:
Vamos verificar se lang<= p, p rang<= = integral-1^1 (p'(x))^2 , dx e se lang<= p, p rang<= >= 0 implica que integral-1^1 (p'(x))^2 , dx = 0 .
Calculando p'(x) = 0 para todo x in [-1, 1] :
p(x) = C
Como p(-1) = C = 0 e p(1) = C = 0 é sempre maior ou igual a zero para todo , a integral também será maior ou igual a zero:
Agora, suponha que :
Para a integral de uma função não negativa ser zero, a função deve ser zero em todo o intervalo:
Integrando , obtemos:
Onde é uma constante. Agora, como :
Portanto, e para todo . Assim, implica que .

Passo 11

Como a aplicação satisfaz as propriedades de linearidade na primeira variável, simetria e positividade, ela define um produto interno em .

Resposta

Concluímos que é um subespaço vetorial de e que a aplicação define um produto interno em .

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